Question

1．在x軸上方有一勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于紙面向里，大小為B，x軸下方有一勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度的大小為E，方向與y軸的夾角θ為45°且斜向左上方（如圖所示）．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電量為q的正離子，從y軸上的A點(diǎn)沿y軸正方向以初速度υ₀開始運(yùn)動(dòng)，該離子在磁場中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從x軸上的C點(diǎn)進(jìn)入電場區(qū)域，該離子經(jīng)C點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸夾角為45°．不計(jì)離子的重力，設(shè)磁場區(qū)域和電場區(qū)域足夠大．求：

（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小及速度方向與電場方向的夾角．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出軌跡半徑．畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何知識(shí)求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何關(guān)系，來確定圓心角，并結(jié)合周期公式與牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解；
（3）根據(jù)粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)處理規(guī)律，由運(yùn)動(dòng)的分解，并結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解．

解答 解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

磁場中帶電粒子在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…①
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$…②
由幾何知識(shí)知：x_C=-（r+rcos45°）=-$\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}$…③
故，C點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}$，0）…④
（2）設(shè)粒子從A到C的時(shí)間為t₁，由題意知：t₁=$\frac{5}{8}$T=$\frac{5πm}{4qB}$…⑤
設(shè)粒子從進(jìn)入電場到返回C的時(shí)間為t₂，其在電場中做勻變速運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，有：
qE=ma…⑥2v₀=at₂…⑦
聯(lián)立⑤⑥解得：t₂=$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$…⑧
設(shè)粒子再次進(jìn)入磁場后在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，由題意知：
t₃=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$…⑨
故粒子從A點(diǎn)到第三次穿越x軸的時(shí)間為：
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{7πm}{4qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$…⑩
（3）粒子從第三次過x軸到第四次過x軸的過程是在電場中做類似平拋的運(yùn)動(dòng)，沿著υ₀的方向（設(shè)為x′軸）做勻速運(yùn)動(dòng)，即：
x′=v₀t₄ （11）v_x′=v₀ …（12）
沿著qE的方向（設(shè)為y′軸）做初速為0的勻變速運(yùn)動(dòng)，即：
y′=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₄²…（13）v_y′=$\frac{qE}{m}$t₄   …（14）
設(shè)離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小為υ，速度方向與電場方向的夾角為α，
由圖中幾何關(guān)系知：tan45°=$\frac{y′}{x′}$…（15）
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+v{′}_{y}^{2}}$…（16）
tanα=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}′}$…（17）
由（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）解得：
v=$\sqrt{5}$v₀
α=arctan$\frac{1}{2}$；
答：（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}$，0）；
（2）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{7πm}{4qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小為$\sqrt{5}$v₀，速度方向與電場方向的夾角為arctan$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是粒子在電場和磁場中運(yùn)動(dòng)的問題，電場中類平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法是運(yùn)動(dòng)的分解，磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的研究方法是畫軌跡．