Question

（2006?南通模擬）太陽(yáng)系以外存在著許多恒星與行星組成的雙星系統(tǒng)．它們運(yùn)行的原理可以理解為，質(zhì)量為M的恒星和質(zhì)量為m的行星（M大于m），在它們之間的萬(wàn)有引力作用下有規(guī)則地運(yùn)動(dòng)著．如圖所示，我們可認(rèn)為行星在以某一定點(diǎn)c為中心、半徑為a的圓周上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（圖中沒(méi)有表示出恒星）．設(shè)萬(wàn)有引力常量為G，恒星和行星的大小可忽略不計(jì)．
（1）試在圖中粗略畫出恒星運(yùn)動(dòng)的軌道和位置；
（2）試計(jì)算恒星與點(diǎn)c間的距離和恒星的運(yùn)行速率v．

Answer 1

分析：1、兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力，兩顆恒星有相同的角速度和周期．
2、雙星在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上的O點(diǎn)做加速度相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律分別對(duì)兩星進(jìn)行列式，來(lái)求解．

解答：解：（1）兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故兩恒星運(yùn)動(dòng)的軌道和位置大致如圖：
（2）對(duì)行星m，F(xiàn)=mω²R_m----------①
對(duì)恒星M，F(xiàn)′=mω²R_M------------②
根據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn)與F′大小相等
由①②得RM=

m

M

Rm=

m

M

a
對(duì)恒星M，G

Mm

(Rm+RM)2

=M

v2

RM

代入數(shù)據(jù)解得：v=

m

m+M

GM a

答：（1）恒星運(yùn)動(dòng)的軌道和位置大致如上圖．
（2）恒星與點(diǎn)c間的距離為

m

M

a，恒星的運(yùn)行速率為

m

m+M

GM a

．

點(diǎn)評(píng)：這道題充分體現(xiàn)了利用雙星系統(tǒng)的特點(diǎn)來(lái)解題的思路．雙星特點(diǎn)：1．繞同一中心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和周期相同．2．由相互作用力充當(dāng)向心力，向心力相同．