(2013?惠州模擬)中心均開(kāi)有小孔的金屬板C、D與半徑為d的圓形單匝金屬線圈連接,圓形框內(nèi)有垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng),大小隨時(shí)間變化的關(guān)系為B=kt(k未知且k>0),E、F為磁場(chǎng)邊界,且與C、D板平行.D板右方分布磁場(chǎng)大小均為B0,方向如圖所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng).區(qū)域Ⅰ的磁場(chǎng)寬度為d,區(qū)域Ⅱ的磁場(chǎng)寬度足夠大.在C板小孔附近有質(zhì)量為m、電量為q的負(fù)離子由靜止開(kāi)始加速后,經(jīng)D板小孔垂直進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ,不計(jì)離子重力.
(1)判斷圓形線框內(nèi)的磁場(chǎng)方向;
(2)若離子從C板出發(fā),運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后又恰能回到C板出發(fā)點(diǎn),求離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間;
(3)若改變圓形框內(nèi)的磁感強(qiáng)度變化率k,離子可從距D板小孔為2d的點(diǎn)穿過(guò)E邊界離開(kāi)磁場(chǎng),求圓形框內(nèi)磁感強(qiáng)度的變化率k是多少?
分析:本題(1)的關(guān)鍵是根據(jù)楞次定律即可求解;題(2)的關(guān)鍵是畫出離子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖,找出圓心,根據(jù)幾何知識(shí)可求出三個(gè)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角,即可求解;題(3)的關(guān)鍵是先根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出磁場(chǎng)變化率K,然后畫出離子從距D板小孔為2d的點(diǎn)穿過(guò)E邊界離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)存在兩種情況的軌跡圖,根據(jù)幾何知識(shí)求出圓的半徑,代入即可求解.
解答:解:(1)負(fù)離子從C板向D板加速運(yùn)動(dòng),說(shuō)明D板電勢(shì)高,對(duì)圓形電路,由楞次定律可知,感應(yīng)電流方向應(yīng)是逆時(shí)針,所以圓形線框內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向里.  
(2)離子在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng),半徑均為R,有:
qv
 
0
B
 
0
=
mv
2
0
R
…①
運(yùn)動(dòng)周期均為T,有:T=
2πR
v
 
0
…②
解①②得:T=
2πm
qB
 
0
… ③
由題意知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖(甲),將三個(gè)軌跡的圓心連接起來(lái),由幾何知識(shí)可知,所得三角形為等邊三角形,所以離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為:t=2?
π
3
?T
+
2π-
π
3
?T
=
T
3
+
5T
6
=
7T
6
…  ④
解③④得:t=
7πm
3q
B
 
0
… ⑤

(3)單匝圓形線框產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為U,由法拉第電磁感應(yīng)定律得:U=
S△B
△t
=K
πd
2
 
…⑥
離子從D板小孔射出速度為V,有動(dòng)能定理得:qU=
1
2
mv
2
 
… ⑦
解①⑥⑦得:K=
qB
2
0
 
 
R
2
 
md
2
 
… ⑧
離子進(jìn)入磁場(chǎng)從E邊界射出的運(yùn)動(dòng)軌跡有兩種情況:
(Ⅰ)如果離子從小孔下面離開(kāi)磁場(chǎng),運(yùn)動(dòng)軌跡與F相切,如圖(乙)所示
由幾何關(guān)系知:R=d…⑨
解⑧⑨得:K=
qB
2
0
 
 
2πm
…⑩
(Ⅱ)如果離子從小孔上面離開(kāi)磁場(chǎng),如圖(丙)所示
由幾何關(guān)系知:(R+d
)
2
 
+(2d
)
2
 
=(2R
)
2
 
…(11)
解⑧(11)得:K=
25
qB
2
0
18πm
…(12)

答:(1)圓形線框內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向里;
(2)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t=
7πm
3q
B
 
0
;
(3)圓形框內(nèi)磁感強(qiáng)度的變化率k是
qB
2
0
 
 
2πm
25
qB
2
0
18πm
點(diǎn)評(píng):遇到帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,一般思路是“畫軌跡、定圓心、求半徑和圓心角,然后求解”.
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