Question

5．如圖所示，正方形勻強磁場的邊界長為a，邊界由絕緣彈性壁圍成，磁場的磁感應強度為B，質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子垂直于磁場方向和邊界從邊界正中點O處射入磁場，其射入時的速度為$\frac{17Bqa}{8m}$，帶電粒子與壁碰撞前后沿壁方向的分速度不變，垂直壁方向的分速度反向、大小不變，且不計摩擦，不計粒子所受重力，碰撞時無電荷量損失，求：
（1）帶電粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑；
（2）帶電粒子從O孔射入到從O點射出所需要的時間．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出粒子軌道半徑．
（2）求出粒子做圓周運動轉過的圓心角，根據(jù)粒子做圓周運動的周期與運動過程求出粒子的運動時間．

解答 解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{17}{8}$a；
（2）粒子軌道半徑r=$\frac{17}{8}$a＞2a，粒子射到AB邊上，設射到AB的點E到A的距離為x，由幾何知識得：
r²=a²+[r-（$\frac{a}{2}-x$）]²，
解得：x=$\frac{a}{4}$，
設粒子從O到E的運動時間為t₁，如圖所示：
sinθ=$\frac{a}{r}$=$\frac{8}{17}$，
則：θ=arcsin$\frac{8}{17}$，
粒子做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
則：t₁=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{m}{qB}$arcsin$\frac{8}{17}$，
粒子在磁場區(qū)域要進行8次類似OE的曲線運動和2次勻速直線運動（綠色線的部分）才可以從O點射出，如圖
粒子從D到A的勻速直線運動時間：t₂=$\frac{a}{v}$=$\frac{8m}{17qB}$，
則粒子從O射入到射出的時間：t=8t₁+2t₂=$\frac{8m}{qB}$arcsin$\frac{8}{17}$+$\frac{16m}{17qB}$；
答：（1）帶電粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑為$\frac{17}{8}$a；
（2）帶電粒子從O孔射入到從O點射出所需要的時間為$\frac{8m}{qB}$arcsin$\frac{8}{17}$+$\frac{16m}{17qB}$．

點評 本題考查了粒子在磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程是正確解題的關鍵，應用牛頓第二定律、周期公式即可正確解題．