Question

如圖所示，一個質(zhì)量為m的圓環(huán)套在一根固定的水平直桿上，環(huán)與桿的動摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)給環(huán)一個向右的初速度v₀，如果環(huán)在運動過程中還受到一個方向始終豎直向上的力F的作用，已知F=kv（k為常數(shù)，v為速度），試討論環(huán)在運動過程中克服摩擦力所做的功．（假設(shè)桿足夠長）

Answer 1

根據(jù)題意有對于小環(huán)的運動，根據(jù)環(huán)受豎直向上的拉力F與重力mg的大小分以下三種情況討論：
（1）當(dāng)mg=kv₀時，即v₀=

mg

k

時，環(huán)做勻速運動，W_f=0，環(huán)克服摩擦力所做的功為零  
（2）當(dāng)mg＞kv₀時，即v₀＜

mg

k

時，環(huán)在運動過程中做減速運動，直至靜止．由動能定理得環(huán)克服摩擦力所做的功為W_f=

1

2

m

v

20

（3）當(dāng)mg＜kv₀時，即v₀＞

mg

k

時，環(huán)在運動過程中先做減速運動，當(dāng)速度減小至滿足mg=kv時，即v=

mg

k

時環(huán)開始做勻速運動．由動能定理得摩擦力做的功
W_f=

1

2

mv2-

1

2

m

v

20

=

m3g2

2k2

-

1

2

m

v

20

環(huán)克服摩擦力所做的功為

1

2

m

v

20

-

m3g2

2k2

答：環(huán)在運動過程中克服摩擦力所做的功為：
（1）v₀=

mg

k

時，環(huán)做勻速運動，W_f=0，環(huán)克服摩擦力所做的功為零  
（2）v₀＜

mg

k

時，環(huán)克服摩擦力所做的功為W_f=

1

2

m

v

20

（3）v₀＞

mg

k

時，環(huán)克服摩擦力所做的功為

1

2

m

v

20

-

m3g2

2k2