Question

16．宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)間的距離為L(zhǎng)；若拋出時(shí)的初速度不變，高度增大到原來(lái)的2倍，則拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)間的距離為$\sqrt{3}$L，已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G．
求：（1）該星球表面的重力加速度g是多少？
（2）該星球的密度ρ是多少？

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律表示出拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離求解星球表面重力加速度．
（2）求出重力加速度，再結(jié)合金代換$GM=g{R}_{\;}^{2}$，可求的星球質(zhì)量，再根據(jù)密度等于質(zhì)量除以體積求解．

解答 解：（1）拋出點(diǎn)高度h、水平射程x與L之間有關(guān)系：L²=h²+x²
當(dāng)初速度不變，拋出高度增加到原來(lái)的2倍時(shí)，水平射程增加到原來(lái)$\sqrt{2}$x，
則有${（\sqrt{3}L）^2}={（2h）^2}+{（\sqrt{2}x）^2}$
解得  $h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}L$又$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
所以$g=\frac{{\sqrt{2}L}}{t^2}$
（2）在星球表面上$G\frac{Mm}{R^2}=mg$得$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$
所以$ρ=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}$=$\frac{3g}{4πRG}=\frac{{3\sqrt{2}L}}{{4πRG{t^2}}}$  
答：（1）該星球表面的重力加速度g是$\frac{\sqrt{2}L}{{t}_{\;}^{2}}$
（2）該星球的密度ρ是$\frac{3\sqrt{2}L}{4πRG{t}_{\;}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題提供了利用重力加速度估測(cè)星球質(zhì)量的一種方法，利用平拋運(yùn)動(dòng)的分位移和合位移關(guān)系公式計(jì)算出重力加速度是關(guān)鍵