Question

13．輕彈簧原長為2L，將彈簧豎直的放在水平地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止時放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為L，且彈簧的形變在彈性限度內(nèi)．現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長度為5L的水平軌道，B端與半徑為L的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，C點(diǎn)與圓弧的圓心在同一水平高度，如圖所示．物塊P與AB間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度L，然后放開P開始沿軌道運(yùn)動，重力加速度大小為g．
（1）彈簧壓縮至長度L時的彈性勢能E_P；
（2）若P能沿圓弧軌道運(yùn)動到最高點(diǎn)D，求P的質(zhì)量m₀的取值范圍；
（3）若P能滑上圓弧軌道恰好運(yùn)動到C點(diǎn)，求P的質(zhì)量M及在AB面上運(yùn)動的路程S．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求出彈簧最大的彈性勢能；
（2）在D點(diǎn)，彈力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式；再對從P到D過程根據(jù)能量守恒定律列式求解；
（3）對從P到C點(diǎn)過程根據(jù)能量守恒定律列式求解P的質(zhì)量M，再對運(yùn)動全程根據(jù)功能關(guān)系列式求解在AB面上運(yùn)動的路程S．

解答 解：（1）將彈簧豎直放置在地面上，物體下落壓縮彈簧時，長度被壓縮了L時，物體的動能為零，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：E_p=5mgL；
（2）P能沿圓弧軌道運(yùn)動到最高點(diǎn)D，設(shè)P的質(zhì)量為m₀，在D點(diǎn)時的速度大小為v_D，軌道對P的壓力大小為N，則在D點(diǎn)有：N+m₀g=m₀$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$，
因為N≥0，從釋放點(diǎn)到D點(diǎn)，由能量守恒定律，有：
E_p=$μ{m}_{0}g•4L+\frac{1}{2}{m}_{0}{v}_{D}^{2}+{m}_{0}g•2L$    
解得：m₀≤$\frac{10}{9}$m；
（3）若P能滑上圓弧軌道恰好運(yùn)動到C點(diǎn)的速度為零，根據(jù)能量守恒定律：E_p=μMg•4L+MgL，
解得：M=$\frac{5}{3}m$，
從C點(diǎn)返回至AB面，假設(shè)在P碰到彈簧之前就停下，此處距B點(diǎn)的距離為x，則：
MgL-μMgx=0，
解得：x=2L，
可見返回過程中P與彈簧沒有接觸，則：
S=x+4L=6L；
答：（1）彈簧壓縮至長度L時的彈性勢能E_P為5mgL；
（2）若P能沿圓弧軌道運(yùn)動到最高點(diǎn)D，P的質(zhì)量m₀的取值范圍為m₀≤$\frac{10}{9}$m；
（3）若P能滑上圓弧軌道恰好運(yùn)動到C點(diǎn)，P的質(zhì)量M為$\frac{5}{3}m$，在AB面上運(yùn)動的路程S為6L．

點(diǎn)評 解決本題時要抓住彈簧的形變量相等時彈性勢能相等這一隱含的條件，正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化，分段運(yùn)用能量守恒定律列式是關(guān)鍵．