Question

如圖，P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點，在P點正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲藏有石油，假定區(qū)域周圍巖石均勻分布，密度為ρ；石油密度遠小于ρ，可將上述球形區(qū)域視為空腔．如果沒有這一空腔，則該地區(qū)重力加速度（正常值）沿豎直方向；當存在空腔時，該地區(qū)重力加速度的大小和方向會與正常情況有微小偏高．重力加速度在原豎直方向（即PO方向）上的投影相對于正常值的偏離叫做“重力加速度反�！保疄榱颂綄な�油區(qū)域的位置和石油儲量，常利用P點附近重力加速度反常現(xiàn)象．已知引力常數(shù)為G．
（1）設(shè)球形空腔體積為V，球心深度為d（遠小于地球半徑），PQ=x，求空腔所引起的Q點處的重力加速度反常．
（2）若在水平地面上半徑L的范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)：重力加速度反常值在g與kg（k＞1）之間變化，且重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半為L的范圍的中心，如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積．

Answer 1

分析：（1）如果將近地表的球形空腔填滿密度為ρ的巖石，則該地區(qū)重力加速度便回到正常值．
根據(jù)萬有引力等于重力列出等式，結(jié)合幾何關(guān)系求出空腔所引起的Q點處的重力加速度反常．
（2）由第一問當中的重力加速度反常的表達式得出重力加速度反�！鱣′的最大值和最小值．重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半為L的范圍的中心，則重力加速度反常最大值kg就是在P點！最小值g就是在Q點
重力加速度反常值在g與kg（k＞1）之間變化，帶入等式求解．

解答：解：（1）如果將近地表的球形空腔填滿密度為ρ的巖石，則該地區(qū)重力加速度便回到正常值．因此，重力加速度反�？赏ㄟ^填充后的球形區(qū)域產(chǎn)生的附加引力

GMm

r2

=m△g①來計算，式中的m是Q點處某質(zhì)點的質(zhì)量，M是填充后球形區(qū)域的質(zhì)量，M=ρV②．
而r是球形空腔中心O至Q點的距離r=

d2+x2

③
△g在數(shù)值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點處重力加速度改變的大�。甉點處重力加速度改變的方向沿OQ方向，重力加速度反�！鱣′是這一改變在豎直方向上的投影△g′=

d

r

△g④
聯(lián)立以上式子得△g′=

GρVd

(d2+x2) 3 2

，⑤
（2）由⑤式得，重力加速度反常△g′的最大值和最小值分別為
（△g′）_max=

GρV

d2

⑥
（△g′）_min=

GρVd

(d2+L2) 3 2

⑦
由題設(shè)有（△g′）_max=kg、（△g′）_min=g⑧
聯(lián)立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為
d=

L

k 2 3 -1

，V=

L2kg

Gρ(k 2 3 -1)

答：（1）空腔所引起的Q點處的重力加速度反常是

GρVd

(d2+x2) 3 2

（2）此球形空腔球心的深度是

L

k 2 3 -1

，空腔的體積是

L2kg

Gρ(k 2 3 -1)

．

點評：本題考查萬有引力部分的知識，逆向思維．填滿巖石就回到正常值，則反常就是這部分巖石的引力引起的！