Question

14．如圖，物塊A通過一不可伸長的輕繩懸掛在天花板下，初始時(shí)靜止；從發(fā)射器（圖中未畫出）射出的物塊B沿水平方向與A相撞，碰撞后兩者粘連在一起運(yùn)動(dòng)，碰撞前B的速度的大小v及碰撞后A和B一起上升的高度h均可由傳感器（圖中未畫出）測得．某同學(xué)以h為縱坐標(biāo)，v²為橫坐標(biāo)，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作直線擬合，求得該直線的斜率為k=1.92×10^-3s²/m．已知物塊A和B的質(zhì)量分別為m_A=0.400kg和m_B=0.100kg，重力加速度大小g=9.8m/s²．
（i）若碰撞時(shí)間極短且忽略空氣阻力，求h-v²直線斜率的理論值k₀．
（ii）求k值的相對(duì)誤差δ（δ=$\frac{|k-{k}_{0}|}{{k}_{0}}$×100%），結(jié)果保留1位有效數(shù)字．

Answer 1

分析 （i）若B與A碰撞過程，由碰撞時(shí)間極短，外力的沖量不計(jì)，認(rèn)為AB系統(tǒng)的動(dòng)量守恒．由動(dòng)量守恒定律得出碰后AB的共同速度．在碰撞后A和B共同上升的過程中，繩子拉力不做功，AB共同體的機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律列式，聯(lián)立可得到h與v²的關(guān)系式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)得到h-v²直線斜率的理論值k₀．
（ii）根據(jù)題意δ=$\frac{|k-{k}_{0}|}{{k}_{0}}$）×100%，求k值的相對(duì)誤差δ．

解答 解：（i）設(shè)物塊A和B碰撞后共同運(yùn)動(dòng)的速度為v′，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律有：
  m_Bv=（m_A+m_B）v′①
在碰撞后A和B共同上升的過程中，由機(jī)械能守恒定律有
  $\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v′²=（m_A+m_B）gh  ②
聯(lián)立①②式得
  h=$\frac{{m}_{B}^{2}}{2g（{m}_{A}+{m}_{B}）^{2}}$v² ③
由題意得：
  h-v²直線斜率的理論值 k₀=$\frac{{m}_{B}^{2}}{2g（{m}_{A}+{m}_{B}）^{2}}$  ④
代入題給數(shù)據(jù)得 k₀=2.04×10^-3s²/m  ⑤
（ii）按照定義知，k值的相對(duì)誤差 δ=$\frac{|k-{k}_{0}|}{{k}_{0}}$×100%  ⑥
由⑤⑥式和題給條件得 δ=6% ⑦
答：
（i）若碰撞時(shí)間極短且忽略空氣阻力，h-v²直線斜率的理論值k₀是2.04×10^-3s²/m．
（ii）k值的相對(duì)誤差δ是6%．

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)物理規(guī)律得到解析式，再分析圖象斜率的物理意義是物理上常用的方法．要知道碰撞的基本規(guī)律：系統(tǒng)的動(dòng)量守恒．