Question

19．如圖所示，已知半徑分別為R和r的甲、乙兩個(gè)光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面內(nèi)，甲軌道左側(cè)又連接一個(gè)光滑的軌道，兩圓形軌道之間由一條水平軌道CD相連，一小球自某一高度由靜止滑下，先滑過(guò)甲軌道，通過(guò)動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的CD段，又滑過(guò)乙軌道，最后離開(kāi)，若小球在兩圓形軌道的最高點(diǎn)對(duì)軌道壓力都恰好為零，試求：
（1）釋放小球的高度h；
（2）水平軌道CD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）小球滾到兩圓軌道最高點(diǎn)均僅受重力，運(yùn)用向心力公式可求出在其位置的速度．因?yàn)檐壍拦饣�，則由機(jī)械能守恒定律可求出軌道最低點(diǎn)速度，從而可求出釋放小球時(shí)的高度h．
（2）由于CD段粗糙，不能運(yùn)用機(jī)械守恒定律，選用動(dòng)能定理，就可算出CD的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）小球在光滑圓軌道上滑行時(shí)，機(jī)械能守恒，設(shè)小球滑過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度為v_c，通過(guò)甲環(huán)最高點(diǎn)速度為v′，根據(jù)小球?qū)ψ罡唿c(diǎn)壓力為零，有：
 $mg=m\frac{{v{′^2}}}{R}$…①
取軌道最低點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，由機(jī)械守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=mg•2R+$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$…②
由①、②兩式消去v′，可得：${v_c}=\sqrt{5gR}$…③
同理可得小球滑過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度為：${v_D}=\sqrt{5gr}$…④
所以小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度為$\sqrt{5gR}$，經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的速度為$\sqrt{5gr}$
小球從在甲軌道左側(cè)光滑軌道滑至C點(diǎn)時(shí)機(jī)械能守恒，有：$mgh=\frac{1}{2}mv_c^2$…⑤
由③、⑤兩式聯(lián)立解得：h=2.5R
因此小球釋放的高度為2.5R
（2）設(shè)CD段的長(zhǎng)度為l，對(duì)小球滑過(guò)CD段過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理有：
   $-μmgl=\frac{1}{2}mv_D^2-\frac{1}{2}mv_c^2$…⑥
由③、④、⑥三式聯(lián)立解得：$l=\frac{{5（{R-r}）}}{2μ}$
則有水平CD段的長(zhǎng)度為$\frac{{5（{R-r}）}}{2μ}$
答：（1）釋放小球的高度h是2.5R；
（2）水平軌道CD的長(zhǎng)度是$\frac{5（R-r）}{2μ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中小球在軌道最高點(diǎn)壓力為零是解題的切入點(diǎn)，要明確最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力．在涉及力在空間的效果時(shí)，運(yùn)用動(dòng)能定理是常用的方法．