Question

11．如圖所示為直角三角形棱鏡的截面ABD，∠A=30°，BD邊的長度為1m，兩束相同的單色光a、b垂直AB邊分別射到AD、BD邊的中點E、F，如果此三棱鏡的折射率為$\sqrt{3}$
①通過計算說明兩條光線射到AD和BD邊上是否發(fā)生全反射
②試確定兩條光線經(jīng)過一次折射后在三棱鏡外的交點位置．

Answer 1

分析 ①由折射率求出臨界角，將a光射到AD面的入射角、b光射到BD面的入射角與臨界角大小進行比較，分析能否發(fā)生全反射．
②結合上題的分析，作出光路圖，由幾何知識求解兩條光線經(jīng)過一次折射后在三棱鏡外的交點位置．

解答 解：①根據(jù)題意可知，三棱鏡的折射率為$\sqrt{3}$，則發(fā)生全反射的臨界角為 sin C=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，C=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$ ①
由題意可知，a光射到AD面的入射角為30°，因為sin 30°=$\frac{1}{2}$＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以入射角小于全反射臨界角，不會發(fā)生全反射  ②
b光射到BD面的入射角為60°，因為sin 60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以入射角大于全反射臨界角，發(fā)生全反射．③
②如圖所示．

a光線從AD面折射，由折射定律可知，折射角等于60°，因此折射光線與AD面的夾角等于30°，b光線射到BD面上發(fā)生全反射，反射角等于60°，反射光射到AD面的入射角等于30°，因此折射光線與AD成30°的夾角，由幾何關系可知，AD的長度為$\sqrt{3}$ m，則ED的長度為$\frac{\sqrt{3}}{2}$ m，F(xiàn)D的長度為0.5 m
所以GD的長度為0.5•tan 30° m=$\frac{\sqrt{3}}{6}$ m，故EG的長度為$\frac{\sqrt{3}}{2}$ m-$\frac{\sqrt{3}}{6}$ m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ m，M為EG的中點
所以EM的長度為$\frac{\sqrt{3}}{6}$ m，HM的長度為$\frac{\sqrt{3}}{6}$•tan 30° m=$\frac{1}{6}$ m，即
兩條光線第一次相交在AD邊距離D點$\frac{\sqrt{3}}{3}$ m處的M點外垂直距離為$\frac{1}{6}$ m的H位置．
答：
①光線射到AD邊上不發(fā)生全反射，射到BD邊上會發(fā)生全反射．
②兩條光線第一次相交在AD邊距離D點$\frac{\sqrt{3}}{3}$ m處的M點外垂直距離為$\frac{1}{6}$ m的H位置．

點評 解決本題關鍵是掌握全反射的條件和臨界角公式臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，要正確作出光路圖，再運用幾何知識幫助解答．