Question

2．如圖所示，A，B兩物體用輕繩連接，并穿在水平桿上，可沿桿滑動．水平桿固定在可繞豎直軸PQ轉動的框架上，已知A、B的質(zhì)量分別為m₁和m₂，水平桿對物體AB的最大靜摩擦力均與各物體的重力成正比，比例系數(shù)為μ，物體A離轉軸PQ的距離為R₁，物體B到轉軸PQ的距離為R₂，且有R₁＜R₂和m₁＜m₂．當框架轉動的角速度緩慢增大到ω₁時，連接兩物體的輕繩開始有拉力；角速度增大到ω₂時，其中一個物體受到桿的摩擦力為零，則：
（1）角速度ω₁多大？此時兩物體受到摩擦力各多大？
（2）角速度ω₂多大？此時輕繩拉力多大？

Answer 1

分析 （1）角速度較小時，A、B靠靜摩擦力提供向心力，B先達到最大靜摩擦力，然后繩子出現(xiàn)拉力；
（2）角速度增大時，A靠拉力和靜摩擦力共同提供向心力，B靠拉力和靜摩擦力提供向心力，隨角速度增大時，A的靜摩擦力減小，然后結合公式即可求出．

解答 解：（1）當沒有拉力時，摩擦力提供向心力，其中 的某一個的靜摩擦力最大時，則：
$μmg=m{ω}_{0}^{2}R$
可得：${ω}_{0}=\sqrt{\frac{μg}{R}}$
可知運動半徑比較大的物體先到達最大靜摩擦力，與質(zhì)量無關．即B先到達最大靜摩擦力，此時：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{μg}{{R}_{2}}}$
此時A受到的靜摩擦力：${f}_{A}={m}_{1}{ω}_{1}^{2}{R}_{1}=\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}•μ{m}_{1}g$
B受到的靜摩擦力：${f}_{A}={m}_{2}{ω}_{1}^{2}{R}_{2}=μ{m}_{2}g$
（2）B先到達最大靜摩擦力，此后A受到繩子的拉力，當A受到的摩擦力等于0時，設拉力為T，則對A：
$T={m}_{1}{ω}_{2}^{2}{R}_{1}$
對B：$μ{m}_{2}g+T={m}_{2}{ω}_{2}^{2}{R}_{2}$
聯(lián)立得：ω₂=$\sqrt{\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}}$
T=$\frac{μ{m}_{1}{m}_{2}g{R}_{1}}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}$
答：（1）角速度ω₁是$\sqrt{\frac{μg}{{R}_{2}}}$；此時兩物體受到摩擦力分別是$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}•μ{m}_{1}g$和μm₂g；
（2）角速度ω₂是$\sqrt{\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}}$，此時輕繩拉力是$\frac{μ{m}_{1}{m}_{2}g{R}_{1}}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}$．

點評 解決本題的關鍵找出A、B將要發(fā)生相對滑動時的臨界情況，通過受力，結合牛頓第二定律進行分析．