Question

10．如圖所示，AOB是游樂場中的滑道模型．它位于豎直平面內(nèi)，是由兩個半徑都是R的$\frac{1}{4}$圓周連接而成，它們的圓心O₁、O₂與兩圓弧的連接點O在同一豎直線上．O₂B與水池的水面相平．一小滑塊可由弧AO的不同位置從靜止開始下滑（　　）

• A． 若出發(fā)點O₁的連線與豎直方向的夾角為30°，則小滑塊能在O點脫離滑道
• B． 若到達O點的速度大于$\sqrt{gR}$，小滑塊將沿水平切線方向離開O點
• C． 到達O點的最大速度為$\sqrt{2gR}$
• D． 若小滑塊沿水平切線方向離開O點，其落水點到O₂的距離在$\sqrt{2}$R到2R之間

Answer 1

分析 明確滑塊離開O點的臨界條件，知道只要重力不足以提供向心力，滑塊即做平拋運動而離開軌道；再根據(jù)機械能守恒定律即可求出能離開O點的夾角；同理根據(jù)機械能守恒定律可求得由最高點滑下時的速度，則由平拋運動規(guī)律即可求出它們落水時的水平位移．

解答 解：A、滑塊在O點做圓周運動，根據(jù)向心力規(guī)律可知，滑塊剛能在O點離開滑道的條件是mg=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$，v₀為滑塊到達O點的速度，由此得v₀=$\sqrt{gR}$，設到達O點的速度為v₀的滑塊在滑道OA上的出發(fā)點到O₁的連線與豎直夾角為θ₀，由機械能守恒，有mgR（1-cosθ₀）=$\frac{1}{2}$mv₀²
聯(lián)立兩式解得θ₀=$\frac{π}{3}$； 故只有夾角大于60°時才能在O點脫離軌道；故A錯誤，B正確；
C、若滑塊由最高點下滑，則根據(jù)機械能守恒定律可知：mgR=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{2gR}$；此時速度最大； 故C正確，
D、以速度v₀從O點沿水平方向滑出滑道的滑塊，其落水點至O₂的距離x₀=V₀t，R=$\frac{1}{2}$gt²
聯(lián)立解得：x₀=$\sqrt{2}$R，當滑塊以v_max從O點沿水平方向滑出滑道時，其落水點到O₂的距離x_max=v_maxt，解得x_max=2R；
因此，凡能從O點脫離滑道的滑塊，其落水點到O2的距離在$\sqrt{2}$R到2R之間的所有可能值．故D正確；
故選：BCD．

點評 該題主要考查了機械能守恒、向心力公式、平拋運動的規(guī)律及機械能守恒定律，解題的關鍵在于明確物體在豎直面上做圓周運動的臨界值，并能正確根據(jù)機械能守恒定律列式求解．