Question

14． 如圖所示，光滑圓錐體頂角為θ=90°，底面水平，長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線一端系一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一端固定在錐頂上，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g．
（1）若小球運(yùn)動(dòng)的角速度為ω₀時(shí)，小球剛好對(duì)圓錐面沒(méi)有壓力，求ω₀；
（2）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的角速度為2ω₀時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的拉力F為多大？

Answer 1

分析 （1）求出物體剛要離開(kāi)錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界角速度．
（2）由于速度大于臨界速度，則物體離開(kāi)錐面，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答 解：（1）當(dāng)小球剛好對(duì)圓錐面沒(méi)有壓力時(shí)，物體剛離開(kāi)錐面，則：Tcos$\frac{θ}{2}$-mg=0，
由拉力與重力的合力提供向心力，則有：$mgtan\frac{θ}{2}=m{{ω}_{o}}^{2}Lsin\frac{θ}{2}$
解之得：${ω}_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{L}}$
（2）當(dāng)小球以角速度2ω₀時(shí)，則小球離開(kāi)斜面，因此由重力與拉力的合力提供向心力．設(shè)此時(shí)細(xì)線與豎直方向之間的夾角為α，則：
mgtanα=mω²Lsinα
設(shè)此時(shí)細(xì)線的拉力為F，則：
Fcosα=mg
聯(lián)立得：F=$4\sqrt{2}mg$
答：（1）若小球運(yùn)動(dòng)的角速度為ω₀時(shí)，小球剛好對(duì)圓錐面沒(méi)有壓力，則求ω₀是$\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{L}}$；
（2）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的角速度為2ω₀時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的拉力F為$4\sqrt{2}mg$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，以及能夠熟練運(yùn)用牛頓第二定律求解．