Question

8．如圖所示，傾角為θ的光滑傾斜軌道在最底端與一半徑為r的光滑半圓弧軌通過極短的一小段光滑曲軌道平滑連接，使半圓軌道的最高點、圓心、最低點在同一豎直線上，讓一小球從傾斜軌道上某一位置由靜止釋放，沿傾斜軌道和半圓弧軌道運動，經(jīng)過圓弧的頂點水平拋出，試判斷小球有沒有可能垂直落在斜面上，若能，斜面傾角應(yīng)滿足什么條件？若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓第二定律求出小球通過圓弧最高點的最小速度，結(jié)合運動的規(guī)律，結(jié)合幾何關(guān)系求出斜面傾角θ應(yīng)滿足的條件．

解答 解：設(shè)小球從圓弧頂點以速度v₀拋出，經(jīng)過時間t秒垂直落在斜面上，斜面的傾角為θ．如圖所示
小球能通過最高點，則需滿足：${v_0}≥\sqrt{gr}$
到達(dá)斜面時，滿足：$cotθ=\frac{gt}{v_0}$
所以：$t=\frac{{{v_0}cotθ}}{g}$
豎直方向：$y=\frac{1}{2}g{t^2}=\frac{{v_0^2{{cot}^2}θ}}{2g}$
水平方向：$x={v_0}ttanθ={v_0}tanθ•\frac{{{v_0}cotθ}}{g}=\frac{v_0^2}{g}$
又：x+y=2r 
 聯(lián)立得：$\frac{v_0^2}{g}+\frac{{v_0^2{{cot}^2}θ}}{2g}=2r$；$v_0^2=\frac{4gr}{{2+{{cot}^2}θ}}≥gr$或 $v_0^2=\frac{{4grta{n^2}θ}}{{2{{tan}^2}θ+1}}≥gr$
考慮到：4≥2+cot²θ
即：$cotθ≤\sqrt{2}$或 $tanθ≥\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以，當(dāng)斜面θ角滿足$cotθ≤\sqrt{2}$或 $tanθ≥\frac{\sqrt{2}}{2}$時，其設(shè)計是可行的．
答：通過以上的分析可知，如果他的想法可行，則斜面傾角θ應(yīng)滿足的條件為$cotθ≤\sqrt{2}$或 $tanθ≥\frac{\sqrt{2}}{2}$；

點評 本題綜合考查了動能定理與圓周運動和平拋運動的綜合，知道圓周運動向心力的來源和平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．