Question

6．已知地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑的三次方與周期的二次方之比為k，萬(wàn)有引力常量為G．求：
（1）太陽(yáng)的質(zhì)量M；
（2）若已知地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，火星和地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)環(huán)繞太陽(yáng)方向相同，軌道平面近似在同一個(gè)平面上，火星繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為1.9T，求地球與火星相鄰兩次距離最近時(shí)的時(shí)間間隔t．

Answer 1

分析 （1）萬(wàn)有引力提供地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出太陽(yáng)的質(zhì)量；
（2）萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律求出周期，兩星轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差△θ=2π時(shí)，火星與地球相鄰再次相距最近，從而求出時(shí)間．

解答 解：（1）萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，整理得：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{GM}{4{π}^{2}}$=k，
解得，太陽(yáng)質(zhì)量：M=$\frac{4k{π}^{2}}{G}$；
（2）萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，解得：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，
加速度：ω=$\frac{2π}{T}$，
根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，地球再一次與火星相距最近的條件是：
ω_地t-ω_火t=2π，ω_地=$\frac{2π}{T}$，ω_火=$\frac{2π}{{T}_{火}}$，
聯(lián)立解得：t=$\frac{T{T}_{火}}{{T}_{火}-T}$=$\frac{19}{9}$T≈2.1T；
答：（1）太陽(yáng)的質(zhì)量M為$\frac{4k{π}^{2}}{G}$；
（2）地球與火星相鄰兩次距離最近時(shí)的時(shí)間間隔t為2.1T．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，知道萬(wàn)有引力提供向心力，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律可以解題；本題的解題關(guān)鍵是：確定地球與火線相距最近的條件．