Question

已知某球形天體的密度為ρ₀，引力常量為G．
（1）證明對(duì)環(huán)繞密度相同的球形天體表面運(yùn)行的衛(wèi)星，運(yùn)動(dòng)周期與天體的大小無(wú)關(guān)（球的體積公式為V=

4

3

πR³，其中R為球半徑）
（2）若球形天體的半徑為R，自轉(zhuǎn)的角速度ω₀₌

RGρ0

2

，表面周?chē)�空間充滿厚度d=

R

2

（小于同步衛(wèi)星距天體表面的高度）．密度ρ=

4ρ0

19

的均勻介質(zhì)，試求同步衛(wèi)星距天體表面的高度．

Answer 1

分析：（1）由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力的周期公式，和質(zhì)量=密度×體積，可以得到周期與半徑的關(guān)系
（2）計(jì)算出來(lái)天體及周?chē)�介質(zhì)的質(zhì)量，進(jìn)而由萬(wàn)有引力可以得到高度．

解答：解：
（1）證明：由萬(wàn)有引力定律得：
G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R
又：M=ρ0

4

3

πR3
解得：
T2=

3π

Gρ0

故T與R無(wú)關(guān)
（2）把天體和周?chē)�空間介質(zhì)看成一個(gè)球體，其質(zhì)量為M，則
M=ρ0

4

3

πR3+

4

3

π(R+

R

2

)3-

4

3

πR3×

4

19

ρ0=ρ02πR3
再由萬(wàn)有引力定律得：

Gmρ02πR3

(R+h)3

=m（R+h）ω₀²
解得：h=R
答：
（1）由T2=

3π

Gρ0

，可知，T與R無(wú)關(guān)
（2）同步衛(wèi)星距天體表面的高度為R

點(diǎn)評(píng)：本題繁瑣點(diǎn)在于求天體及周?chē)�介質(zhì)的質(zhì)量，只要正確求出質(zhì)量，就可以很容易得到同步衛(wèi)星高度．