Question

20．甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員在同一圓軌道上從同一地點(diǎn)同時(shí)沿同一繞行方向進(jìn)行跑步比賽，可認(rèn)為甲乙都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若甲的周期為T(mén)₁，乙的周期為T(mén)₂，且T₁＞T₂
（1）至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員相距最近；
（2）至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩運(yùn)動(dòng)員相距最遠(yuǎn)．

Answer 1

分析 當(dāng)兩名運(yùn)動(dòng)員相遇時(shí)，相距最近，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出相距最近的時(shí)間．當(dāng)兩運(yùn)動(dòng)員之間的距離為直徑時(shí)，相距最遠(yuǎn)．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間相距最近，
有：$\frac{2π}{{T}_{1}}t+2nπ=\frac{2π}{{T}_{2}}t$，n=1，2，3…
解得t=$\frac{n{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$．（n=1，2，3，…）
當(dāng)n=1時(shí)，t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$．
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t′時(shí)間相距最遠(yuǎn)，
有：$\frac{2π}{{T}_{1}}t′+（2n-1）π=\frac{2π}{{T}_{2}}t′$，
解得$t′=\frac{（2n-1）{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$，（n=1，2，3…）
當(dāng)n=1時(shí)，$t′=\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$．
答：（1）至少經(jīng)過(guò)時(shí)間為$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員相距最近．
（2）至少經(jīng)過(guò)$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$，甲乙相距最遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)的基本運(yùn)用，知道當(dāng)兩者的路程相差為周長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)，相距最近，當(dāng)兩者的路程是半個(gè)周長(zhǎng)的奇數(shù)倍時(shí)相距最遠(yuǎn)．