Question

9．如果把水星和金星繞太陽的運動視為勻速圓周運動，如圖所示．從水星與金星在一條直線上開始計時，若天文學家測得在相同時間內水星轉過的角度為θ₁，金星轉過的角度為θ₂（θ₁、θ₂均為銳角），則由此條件可求得（　　）

• A． 水星和金星表面的重力加速度之比
• B． 水星和金星的密度之比
• C． 水星和金星繞太陽運動的周期之比
• D． 水星和金星繞太陽運動的向心力大小之比

Answer 1

分析 根據(jù)相同時間內轉過的角度之比求出角速度之比，從而得出周期之比，根據(jù)萬有引力提供向心力得出軌道半徑和周期的關系，結合周期之比求出軌道半徑之比．根據(jù)萬有引力提供向心力得出向心加速度之比．

解答 解：A、在水星表面物體的重力等于萬有引力，有$G\frac{{M}_{水}^{\;}m}{{R}_{水}^{2}}=m{g}_{水}^{\;}$，得${g}_{水}^{\;}=G\frac{{M}_{水}^{\;}}{{R}_{水}^{2}}$
在金星表面物體的重力等于萬有引力：$G\frac{{M}_{金}^{\;}m}{{R}_{金}^{2}}=m{g}_{金}^{\;}$，得${g}_{金}^{\;}=G\frac{{M}_{金}^{\;}}{{R}_{金}^{2}}$
由于水星和金星的質量比及半徑比都未知，所以無法求出水星和金星表面的重力加速度之比，故A錯誤；
B、水星和金星是環(huán)繞天體，無法求出質量，也無法知道它們的半徑，所以求不出密度比．故B錯誤．
C、相同時間內水星轉過的角度為${θ}_{1}^{\;}$，金星轉過的角度為${θ}_{2}^{\;}$，可知它們的角速度之比為${θ}_{1}^{\;}：{θ}_{2}^{\;}$，周期$T=\frac{2π}{ω}$，則周期之比為${θ}_{2}^{\;}：{θ}_{1}^{\;}$，故C正確；
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$，得$r=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}$，角速度之比可以得出水星和金星到太陽的距離，因為無法求出水星和金星的質量，所以無法求出水星和金星繞太陽運動的向心力大小之比，故D錯誤；
故選：C

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運用，知道運用該理論只能求解中心天體質量，不能求解環(huán)繞天體質量．