Question

11．如圖所示，光滑水平面內(nèi)有兩根相互平行且足夠長(zhǎng)的光滑導(dǎo)軌L₁和L₂，一個(gè)略長(zhǎng)于導(dǎo)軌間距、質(zhì)量為M的內(nèi)壁光滑且絕緣的細(xì)管與導(dǎo)軌垂直放置．垂直紙面向里和向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)I、II分別分布在L₁兩側(cè)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向如圖．細(xì)管內(nèi)有一質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），開始時(shí)小球與L₁的距離為d，小球和細(xì)管均處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)對(duì)細(xì)管施加水平外力，使其從P₁位置以速度v₀向右勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)細(xì)管運(yùn)動(dòng)過程中始終保持與導(dǎo)軌垂直．

（1）當(dāng)細(xì)管運(yùn)動(dòng)到L₁上的P₂位置時(shí)，小球從管口飛出，求此時(shí)小球的速度大��；
（2）求小球經(jīng)磁場(chǎng)II偏轉(zhuǎn)后第一次回到L₁上的位置到P₂的距離．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，分析小球所受的洛倫茲力，由動(dòng)能定理求小球從管口飛出時(shí)的速度大小．
（2）小球在磁場(chǎng)II中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式，求出軌道半徑，再由幾何知識(shí)求解即可．

解答 解：（1）小球在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)重力和支持力二力平衡，將洛茲倫力作如圖所示的分解，其中f_x與桿的彈力平衡，小球的合力等于洛倫茲力沿桿方向的分力f_y．可得 f_y=qv₀B
根據(jù)動(dòng)能定理得 f_yd=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
則得，小球從管口飛出時(shí)沿管方向的分速度大小 v=$\sqrt{\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$
所以小球從管口飛出時(shí)的速度大小為 v′=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}^{2}}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$
（2）小球在磁場(chǎng)II中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力得
   qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$
解得 r=$\frac{m}{qB}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$
所以小球經(jīng)磁場(chǎng)II偏轉(zhuǎn)后第一次回到L₁上的位置到P₂的距離為 S=2r=$\frac{2m}{qB}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$
答：
（1）小球從管口飛出時(shí)的速度大小為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$．
（2）小球經(jīng)磁場(chǎng)II偏轉(zhuǎn)后第一次回到L₁上的位置到P₂的距離為$\frac{2m}{qB}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法和力的分解法研究洛倫茲力的分力，知道洛倫茲力沿桿方向的分力是恒力．要注意小球從管口飛出時(shí)的速度是合速度，不是分速度．