20.如圖,一根水平桿上等距離地穿著n個半徑相同的珠子,珠子可以在桿上無摩擦移動,珠子的質(zhì)量依次為m,km,k2m,k3m…,kk-1m,其中是的取值范圍是1212≤k≤2.使第一顆珠子在極短時間內(nèi)獲得初速度v0,之后每當(dāng)珠子之間發(fā)生碰撞時都會粘在一起.

a.分析并說明當(dāng)k取何值時,碰撞全部結(jié)束后系統(tǒng)的總動能最大;k取何值時,碰撞全部結(jié)束后系統(tǒng)的總動能最�。�
b.求出碰撞結(jié)束后系統(tǒng)相應(yīng)的最小總動能和最大總動能的比值.

分析 a、根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律得到質(zhì)量為m1、初速度為v0的物體與質(zhì)量為m2的靜止物體發(fā)生完全非彈性碰撞后系統(tǒng)損失的動能,分析損失的動能與它們質(zhì)量的關(guān)系.運用數(shù)學(xué)歸納法分析第一次、第二次碰撞后碰撞后系統(tǒng)的總動能,得到k越大,碰撞后系統(tǒng)的總動能越小,從而知道當(dāng)k=2時,全部碰撞結(jié)束后系統(tǒng)的總動能最��;當(dāng)k=12時,全部碰撞結(jié)束后系統(tǒng)的總動能最大.
b、由上題的結(jié)果分析第一次碰撞后、第二次碰撞后系統(tǒng)的總動能,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得到第n-1次(即最后一次)碰撞系統(tǒng)的總動能.當(dāng)k=2時最小剩余動能,當(dāng) k=12時最大剩余動能,代入求出最小總動能和最大總動能的比值.

解答 解:質(zhì)量為m1、初速度為v0的物體與質(zhì)量為m2的靜止物體發(fā)生完全非彈性碰撞,根據(jù)動量守恒定律得
  m1v0=(m1+m2)v
碰撞后系統(tǒng)的總動能 Ek=12m1+m2v2=12m1v20m1m1+m2) ①
碰撞中系統(tǒng)損失的動能△Ek=12m1v20-12m1+m2v2=12m1v20m2m1+m2) ②
a、第一次碰撞后,系統(tǒng)的動能 E1=12mv2011+k,顯然k越大,E1越�。�
第二次碰撞時,質(zhì)量為m和km的珠子以共同運動的動能E1與質(zhì)量為k2m的珠子相碰,碰后系統(tǒng)的動能 E2=E1m+kmm+km+k2m)…①
顯然k越大,E2越�。�
依此類推,可知,k越大,碰撞后系統(tǒng)的總動能越�。�
所以當(dāng)k=2時,全部碰撞結(jié)束后系統(tǒng)的總動能最��;當(dāng)k=12時,全部碰撞結(jié)束后系統(tǒng)的總動能最大;
b、由上知,第一次碰撞后系統(tǒng)的總動能 E1=12mv2011+k 
第二次碰撞后系統(tǒng)的總動能 E2=12mv2011+k1+k1+k+k2=12mv2011+k+k2
對第n-1次(即最后一次)碰撞,將m1=m+km+k2m+kn-2 m,m2=kn-1 m,代入①得
  En-1=12mv2011+k1+k1+k+k21+k+k2++kn21+k+k2++kn1
=12mv2011+k+k2++kn1)=12mv201k1kn
所以,當(dāng)k=2時最小剩余動能為 12mv2012n1
當(dāng) k=12時最大剩余動能為 12mv201221n
故最小總動能和最大總動能的比值為 221n2n1
答:
a、當(dāng)k=2時,全部碰撞結(jié)束后系統(tǒng)的總動能最��;當(dāng)k=12時,全部碰撞結(jié)束后系統(tǒng)的總動能最大.
b、最小總動能和最大總動能的比值為 221n2n1

點評 解決本題的關(guān)鍵有兩點:一要掌握完全非彈性碰撞的基本規(guī)律:動量守恒和能量守恒;二是運用數(shù)學(xué)歸納法,發(fā)現(xiàn)碰撞后系統(tǒng)總動能的規(guī)律,寫出通項式.

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