Question

10．在真空中，有兩個相距2b的非常重的點電荷每一個帶電量都等于+e．在電荷連線的中間，并垂直于電荷連線的平面內(nèi)，有兩個質點沿著圓軌道運動，質點的質量和電荷都為m和-e，圓軌道的半徑為a，其圓心正好在兩個正電荷的連線上，質點運動時，他們總是處在圓軌道直徑的兩個相反的端點上． 
（1）a和b必須滿足什么條件，才能使系統(tǒng)在角速度為0時處于平衡位置．  
（ 2）負電荷應以多大的角速度w運動，才能使系統(tǒng)處于動態(tài)平衡？

Answer 1

分析 （1）系統(tǒng)在角速度為0時處于平衡位置，A電荷受到另外三個電荷的靜電力作用，合力為零，根據(jù)平衡條件和庫侖定律結合求解．
（2）負電荷做勻速圓周運動時，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）如圖A點電荷在另外三個電荷的作用下而靜止，由平衡條件有：
  2Fcosα=F_BA；
由庫侖定律有：
  F=k$\frac{{e}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$，F(xiàn)_BA=k$\frac{{e}^{2}}{（2a）^{2}}$
又由幾何關系可知：cosα=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$
聯(lián)立解得：8a₃=$（{a}^{2}+^{2}）^{\frac{3}{2}}$
同理，對點電荷C，有：
  2Fcosα=F_CD；
又 F_CD=k$\frac{{e}^{2}}{（2b）^{2}}$
解得：8b³=$（{a}^{2}+^{2}）^{\frac{3}{2}}$
由上可得 a=b．
（2）由圓周運動的規(guī)律有：
  2Fcosα-F_BA=mω²a
代入得：$\frac{2k{e}^{2}a}{（{a}^{2}+^{2}）^{\frac{3}{2}}}$-$\frac{k{e}^{2}}{4{a}^{2}}$=mω²a
解得：ω=$\sqrt{\frac{2k{e}^{2}}{m（{a}^{2}+^{2}）^{\frac{3}{2}}}-\frac{k{e}^{2}}{4m{a}^{3}}}$
答：（1）a和b必須滿足條件：a=b時，才能使系統(tǒng)在角速度為0時處于平衡位置．  
（2）負電荷應以$\sqrt{\frac{2k{e}^{2}}{m（{a}^{2}+^{2}）^{\frac{3}{2}}}-\frac{k{e}^{2}}{4m{a}^{3}}}$的角速度w運動，才能使系統(tǒng)處于動態(tài)平衡．

點評 解決本題的關鍵要正確分析受力情況，運用力學的方法研究，同時要掌握平衡條件和圓周運動的規(guī)律．