Question

1．如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過(guò)陶罐球心O的對(duì)稱軸OO′重合．轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°．重力加速度大小為g．
（1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω₀；
（2）ω=（1±k）ω₀，且0＜k＜＜1，求小物塊受到的摩擦力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大�。�
（2）當(dāng)ω＞ω₀，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，根據(jù)牛頓第二定律求出摩擦力的大�。�當(dāng)ω＜ω₀，重力和支持力的合力大于向心力，則摩擦力的方向沿罐壁切線向上，根據(jù)牛頓第二定律求出摩擦力的大�。�

解答 解：（1）當(dāng)摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtanθ=mRsinθω₀²，解得
${ω}_{0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（2）當(dāng)ω=（1+k）ω₀時(shí)，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，
根據(jù)牛頓第二定律得，fcos60°+Ncos30°=mRsin60°ω²．
fsin60°+mg=Nsin30°
聯(lián)立兩式解得$f=\frac{\sqrt{3}k（2+k）}{2}mg$

當(dāng)ω=（1-k）ω₀時(shí)，摩擦力方向沿罐壁切線向上，
根據(jù)牛頓第二定律得，Ncos30°-fcos60°=mRsin60°ω²．
mg=Nsin30°+fsin60°
聯(lián)立兩式解得f=$\frac{\sqrt{3}k（2-k）}{2}mg$．
答：（1）小物塊受到的摩擦力恰好為零時(shí)，${ω}_{0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$．
（2）當(dāng)ω=（1+k）ω₀時(shí)，摩擦力方向沿罐壁切線向下，大小為$f=\frac{\sqrt{3}k（2+k）}{2}mg$．
當(dāng)ω=（1-k）ω₀時(shí)，摩擦力方向沿罐壁切線向上，大小為$\frac{\sqrt{3}k（2-k）}{2}mg$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清物塊做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進(jìn)行求解．