Question

6．觀察到某一行星有顆衛(wèi)星以半徑R、周期T環(huán)繞此行星做圓周環(huán)繞運動，衛(wèi)星的質(zhì)量為m．
（1）求行星的質(zhì)量；
（2）求衛(wèi)星的向心加速度；
（3）若行星的半徑是衛(wèi)星運行軌道半徑的$\frac{1}{10}$，那么該行星表面的重力加速度有多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力定律等于向心力公式，即可求出行星的質(zhì)量；
（2）根據(jù)向心加速度公式求衛(wèi)星的向心加速度
（3）行星表面處的重力加速度由萬有引力提供即可．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）衛(wèi)星的向心加速度${a}_{n}^{\;}={ω}_{\;}^{2}R=（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}R=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
（3）根據(jù)題意，行星的半徑${R}_{行}^{\;}=\frac{R}{10}$
行星表面物體重力等于萬有引力，有
$mg=G\frac{Mm}{（\frac{R}{10}）_{\;}^{2}}$
解得：$g=100G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{400{π}_{\;}^{2}R}{{T}_{\;}^{2}}$
答：（1）求行星的質(zhì)量$\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）求衛(wèi)星的向心加速度$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$；
（3）若行星的半徑是衛(wèi)星運行軌道半徑的$\frac{1}{10}$，那么該行星表面的重力加速度有多大$\frac{400{π}_{\;}^{2}R}{{T}_{\;}^{2}}$

點評 該題考查萬有引力定律的一般應(yīng)用，直接使用萬有引力提供向心力的公式即可，它們非常簡單