Question

【題目】利用電磁場可以對帶電粒子的運動進行有效的控制，使得粒子按照預(yù)定的軌跡進行，如同作畫一般。如圖所示，在直角坐標系xOy中，有一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子從原點O沿y軸正方向以初速度v0射出，現(xiàn)要求該粒子能通過點P（a，-b），可通過在粒子運動的空間范圍內(nèi)加適當?shù)?/span>“場”來實現(xiàn)。粒子重力忽略不計。

(1)若只在x軸上某點固定一帶負電的點電荷，使粒子在該點電荷產(chǎn)生的電場中作勻速圓周運動，并最終能到達P點，已知靜電力常量為k，求點電荷的電量大小Q。

(2)若只在第Ⅰ、Ⅱ象限內(nèi)加垂直紙面向外的勻強磁場，并在第Ⅳ象限內(nèi)加沿x軸正方向的勻強電場，也能使粒子最終運動到達P點。如果此過程中粒子在電、磁場中運動的時間相等，求磁感應(yīng)強度的大小B和電場強度的大小E。

(3)若在第Ⅰ、Ⅱ象限內(nèi)加垂直紙面的勻強磁場，并在第Ⅲ、Ⅳ象限內(nèi)加平行于x軸方向的勻強電場，也能使粒子最終運動到達P點。試討論磁感應(yīng)強度B的大小、方向與電場強度E的大小、方向之間的聯(lián)系，寫出B的方向和取值范圍，以及與之對應(yīng)的E的方向和E的表達式。

Answer 1

【答案】(1) (2)， (3) ①B向內(nèi)，E沿x軸正方向；此時 ②B向外，，E沿x軸正方向；此時 ③B向外，，E沿x軸負方向；此時

【解析】試題分析：（1）根據(jù)粒子做勻速圓周運動，由幾何關(guān)系求得半徑，即可根據(jù)庫侖力做向心力求得點電荷電量；（2）根據(jù)粒子在磁場中只受洛倫茲力作用得到粒子做勻速圓周運動，即可得到粒子轉(zhuǎn)過的中心角及周期，從而得到運動時間；再根據(jù)粒子在電場中只受電場力作用，做勻變速運動，得到粒子運動位移和時間，然后根據(jù)總位移和兩階段運動時間相等求解；（3）根據(jù)粒子在磁場中做勻速圓周運動得到粒子離開磁場時的位置坐標及速度方向；再根據(jù)粒子在電場中做勻變速運動，根據(jù)粒子經(jīng)過P點，由運動位移求解。

（1）帶電粒子在點電荷的電場中做勻速圓周運動，根據(jù)粒子只受庫侖力作用，庫侖力做向心力可得：點電荷固定在粒子做圓周運動的圓心；由粒子做勻速圓周運動可得：粒子由O到P的軌跡如圖所示

由幾何關(guān)系可知，則粒子做圓周運動的軌道半徑

根據(jù)庫侖力做向心力可得：

解得：

（2）粒子在磁場中只受洛倫茲力作用，故粒子做勻速圓周運動，洛倫茲力做向心力，故有：

根據(jù)粒子做勻速圓周運動可得：粒子離開磁場時在x軸上，速度垂直x軸方向向下；則粒子轉(zhuǎn)過的中心角為；故粒子離開磁場時的坐標為（，0），粒子在磁場中運動的時間

粒子在電場中只受水平向右的電場力作用，故粒子做加速度的類平拋運動；粒子由O到P的軌跡如圖所示

故根據(jù)類平拋運動規(guī)律可得：，

由，解得：磁感應(yīng)強度的大小

所以，粒子在磁場中的軌道半徑，

故電場強度

（3）粒子在磁場中只受洛倫茲力作用，故粒子做勻速圓周運動，那么，粒子離開磁場進入電場時的速度方向向下，大小為；設(shè)粒子在磁場中的軌道半徑為r，那么，根據(jù)洛倫茲力做向心力可得：，所以

若磁場方向垂直紙面向里，則粒子離開磁場時的坐標為（-2r，0）；若磁場方向垂直紙面向外，則粒子離開磁場時的坐標為（0，2r）；粒子在電場中只受水平方向的電場力作用，故粒子做類平拋運動，運動時間。

①當磁場方向垂直紙面向里，粒子離開磁場時的坐標為（-2r，0）時，電場方沿x軸正方向，且有

所以電場強度

②當磁場方向垂直紙面向外，粒子離開磁場時的坐標為（0，2r），且2r＜a時，，電場方向沿x軸正方向，且有

所以電場強度

③當磁場方向垂直紙面向外，粒子離開磁場時的坐標為（0，2r），且2r＞a時，，電場方向沿x軸負方向，且有

所以電場強度