Question

（2009?江蘇模擬）如圖甲所示，空間存在豎直向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.6T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN、PQ是相互平行的、處于同一水平面內(nèi)的長直導(dǎo)軌（電阻不計(jì)），導(dǎo)軌間距為0.2m，連在導(dǎo)軌一端的電阻為R．導(dǎo)體棒ab的電阻為0.1Ω，質(zhì)量為0.3kg，跨接在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1．從零時(shí)刻開始，通過一小型電動(dòng)機(jī)對(duì)ab棒施加一個(gè)牽引力F，方向水平向左，使其從靜止開始沿導(dǎo)軌做加速運(yùn)動(dòng)，此過程中棒始終保持與導(dǎo)軌垂直且接觸良好．圖乙是棒的速度--時(shí)間圖象，其中OA段是直線，AC是曲線，DE是曲線圖象的漸近線，小型電動(dòng)機(jī)在10s末達(dá)到額定功率，此后功率保持不變．g取10m/s²．求：
（1）在0--18s內(nèi)導(dǎo)體棒獲得加速度的最大值；
（2）電阻R的阻值和小型電動(dòng)機(jī)的額定功率；
（3）若已知0--10s內(nèi)R上產(chǎn)生的熱量為3.1J，則此過程中牽引力做的功為多少？

Answer 1

分析：（1）乙圖是速度時(shí)間圖象，其斜率等于加速度，可知：導(dǎo)體棒在0-10s內(nèi)加速度最大．求出圖線的斜率就得到加速度．
（2）乙圖中A點(diǎn)：由E=BLv、I=

E

R+r

、F=BIL三個(gè)公式推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，由牛頓第二定律得到含μ和R的表達(dá)式；圖中C點(diǎn)：導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)，由平衡條件再得到含μ和R的表達(dá)式，聯(lián)立求出R．小型電動(dòng)機(jī)的額定功率P_m=F?v_m．
（3）由圖象的“面積”求出0-10s內(nèi)導(dǎo)體棒發(fā)生的位移，0-17s內(nèi)共發(fā)生位移100m，求出AC段過程發(fā)生的位移，根據(jù)R上產(chǎn)生的熱量，由串聯(lián)關(guān)系求出導(dǎo)體棒產(chǎn)生的熱量，再根據(jù)功能關(guān)系求牽引力做的功．

解答：解：（1）由圖中可得：10s末的速度為v₁=4m/s，t₁=10s
導(dǎo)體棒在0-10s內(nèi)的加速度為最大值，am=

v1-0

t1

=

4

10

=0.4m/s²     
（2）設(shè)小型電動(dòng)機(jī)的額定功率為P_m
在A點(diǎn)：E₁=BLv₁    I1=

E1

R+r

由牛頓第二定律：F₁-μmg-BI₁L=ma₁                                       
又 P_m=F₁?v₁                                                       
當(dāng)棒達(dá)到最大速度v_m=5m/s時(shí)，E_m=BLv_m I_m=

Em

R+r

由金屬棒的平衡得：F₂-μmg-BI_mL=0                                      
又P_m=F₂?v_m                                                       
聯(lián)立解得：P_m=2W，R=0.62Ω                                                
（3）在0-10s內(nèi)：t₁=10s
通過的位移：s1=

1

2

(0+v1)t1=20m                                  
導(dǎo)體棒產(chǎn)生的熱量  Qr=

0.1

0.62

QR=0.5J
由能量守恒：WF=QR+Qr+μmg?s1+

1

2

m

v

2 1

代入得：此過程牽引力做的功WF=3.1+0.5+0.1×0.3×10×20+

1

2

×0.3×42=12J
答：
（1）在0--18s內(nèi)導(dǎo)體棒獲得加速度的最大值是0.4m/s²；
（2）電阻R的阻值是0.62Ω，小型電動(dòng)機(jī)的額定功率是2W；
（3）若已知0--10s內(nèi)R上產(chǎn)生的熱量為3.1J，則此過程中牽引力做的功為12J．

點(diǎn)評(píng)：本題與汽車勻加速起動(dòng)類似，關(guān)鍵會(huì)推導(dǎo)安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒結(jié)合進(jìn)行求解．