Question

7．組成星球的物質(zhì)是靠萬有引力吸引在一起的，這樣的星球有一個(gè)最大的自轉(zhuǎn)速率，如果超過了該速率，星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近的物體做圓周運(yùn)動(dòng)，由此能得到半徑為r，密度為ρ，質(zhì)量為M且均勻分布的星球的最小自轉(zhuǎn)周期T，下列表達(dá)式中正確的是（　　）

• A． T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
• B． T=2π$\sqrt{\frac{3{r}^{3}}{GM}}$
• C． $T=\sqrt{\frac{π}{Gρ}}$
• D． $T=\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$

Answer 1

分析 由題意可知當(dāng)周期達(dá)到某一最小值時(shí)，物體對(duì)星球表面應(yīng)剛好沒有壓力，即萬有引力恰好充當(dāng)星球表面的物體在星球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力；故由萬有引力公式可求得最小周期．

解答 解：由$F=\frac{m4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$可得周期越小，物體需要的向心力越大，物體對(duì)星球表面的壓力最小，當(dāng)周期小到一定值時(shí)，壓力為零，此時(shí)萬有引力充當(dāng)向心力，即：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$ 
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$故A正確，B錯(cuò)誤；
因$M=ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，赤道附近的物體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=R，代入上式可得：$T=\sqrt{\frac{3π}{ρG}}$，故C錯(cuò)誤，D正確；
故選：AD．

點(diǎn)評(píng) 星球表面的物體受到星球萬有引力的作用充當(dāng)物體的向心力及支持力，星球的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度越大、周期越小時(shí)，則需要的向心力越大，則物體所受支持力越小；而當(dāng)向心力大到一定值時(shí)，物體會(huì)離開星球表面；