Question

6．有一固定的圓筒，其軸線水平，截面半徑為R，如圖所示．質(zhì)量為m的小球沿圓筒的內(nèi)側(cè)面做圓周運(yùn)動(dòng)，t₁時(shí)刻小球以速率$\sqrt{2gR}$過最高點(diǎn)，t₂時(shí)刻小球過最低點(diǎn)且對(duì)圓筒的壓力為6mg．
（1）小球過最低點(diǎn)時(shí)速度大小為多少？
（2）從t₁至t₂的時(shí)間間隔內(nèi)，阻力（包括摩擦阻力和空氣阻力）對(duì)小球所做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）小球在最低點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求小球過最低點(diǎn)時(shí)速度．
（2）從t₁至t₂的時(shí)間間隔內(nèi)，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，求解阻力（包括摩擦阻力和空氣阻力）對(duì)小球所做的功．

解答 解：（1）設(shè)小球通過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的速度大小分別為v₁和v₂．
小球在最低點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：
     N-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
據(jù)題可得，N=6mg
解得 v₂=$\sqrt{5gR}$
（2）設(shè)從t₁至t₂的時(shí)間間隔內(nèi)，阻力（包括摩擦阻力和空氣阻力）對(duì)小球所做的功為W．
由動(dòng)能定理得：
   2mgR+W=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
據(jù)題 v₁=$\sqrt{2gR}$
聯(lián)立解得 W=-$\frac{1}{2}$mgR
答：
（1）小球過最低點(diǎn)時(shí)速度大小為$\sqrt{5gR}$．
（2）從t₁至t₂的時(shí)間間隔內(nèi)，阻力（包括摩擦阻力和空氣阻力）對(duì)小球所做的功為-$\frac{1}{2}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)小球正確受力分析，確定向心力的來源是關(guān)鍵．要知道動(dòng)能定理是求變力做功常用的方法．