Question

（2008?武漢一模）如圖所示，間距為l、電阻不計(jì)的兩根平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ（足夠長(zhǎng)）被固定在同一水平面內(nèi)，質(zhì)量均為m、電阻均為R的兩根相同導(dǎo)體棒a、b垂直于導(dǎo)軌放在導(dǎo)軌上，一根輕繩繞過(guò)定滑輪后沿兩金屬導(dǎo)軌的中線與a棒連接，其下端懸掛一個(gè)質(zhì)量為M的物體C，整個(gè)裝置放在方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．開(kāi)始時(shí)使a、b、C都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)釋放C，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，C的速度為υ₁、b的速度為υ₂．不計(jì)一切摩擦，兩棒始終與導(dǎo)軌接觸良好，重力加速度為g，求：
（1）t時(shí)刻C的加速度值；
（2）t時(shí)刻a、b與導(dǎo)軌所組成的閉合回路消耗的總電功率．

Answer 1

分析：（1）a、b兩棒都切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)E=Bl（v₁-v₂）求出回路中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求得感應(yīng)電流I，由F=BIL求出棒a、b所受的安培力大小，根據(jù)牛頓第二定律分別研究棒b、a和C物體，可求解加速度．
（2）單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)a棒克服安培力做功，把C物體的一部分重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為閉合回路的電能，而閉合回路電能的一部分以焦耳熱的形式消耗掉，另一部分則轉(zhuǎn)化為b棒的動(dòng)能．根據(jù)功能關(guān)系進(jìn)行分析計(jì)算．

解答：解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，t時(shí)刻回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：
E=

△?

△t

=Bl(υ1-υ2)…①
回路中感應(yīng)電流：I=

E

2R

…②
以a為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得：T-BIl=ma…③
以C為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得：Mg-T=Ma…④
聯(lián)立以上各式解得：a=

2MgR-B2l2(υ1-υ2)

2R(M+m)

（2）解法一：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，通過(guò)a棒克服安培力做功，把C物體的一部分重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為閉合回路的電能，而閉合回路電能的一部分以焦耳熱的形式消耗掉，另一部分則轉(zhuǎn)化為b棒的動(dòng)能，所以，t時(shí)刻閉合回路的電功率等于a棒克服安培力做功的功率，即為：
P=BIlυ1=

B2l2(υ1-υ2)?υ1

2R

解法二：a棒可等效為發(fā)電機(jī)，b棒可等效為電動(dòng)機(jī)
a棒的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E_a=Blv₁ …⑤
閉合回路消耗的總電功率為：P=IE_a …⑥
聯(lián)立①②⑤⑥解得：P=BIlυ1=

B2l2(υ1-υ2)?υ1

2R

解法三：閉合回路消耗的熱功率為：P熱=

E2

2R

=

B2l2(v1-v2)2

2R

b棒的機(jī)械功率為：P機(jī)=BIl?v2=

B2l2(v1-v2)v2

2R

故閉合回路消耗的總電功率為：P=P_熱+P_機(jī)=

B2l2(υ1-υ2)?υ1

2R

答：（1）t時(shí)刻C的加速度值為

2MgR-B2l2(v1-v2)

2R(M+m)

；
（2）t時(shí)刻a、b與導(dǎo)軌所組成的閉合回路消耗的總電功率為

B2l2(υ1-υ2)?υ1

2R

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了法拉第電磁感應(yīng)定律以及電磁感應(yīng)中的能量守恒．關(guān)鍵理清導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的定律進(jìn)行求解．