Question

11．若有一艘宇宙飛船在某一行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知其周期為T(mén)，引力常量為G，那么該行星的平均密度為（　�。�

• A． $\sqrt{\frac{G{T}^{2}}{4π}}$
• B． $\sqrt{\frac{4π}{G{T}^{2}}}$
• C． $\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． $\frac{G{T}^{2}}{3π}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，可以列式求解出行星的質(zhì)量，進(jìn)一步求出密度．

解答 解：飛船繞某一行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力等于向心力                
      F_引=F_向
即：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
由$ρ=\frac{M}{V}$得：
該行星的平均密度為$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題可歸結(jié)為一個(gè)結(jié)論：環(huán)繞行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其公轉(zhuǎn)周期平方與行星平均密度的乘積是一個(gè)定則，即ρT²=$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$