Question

為了研究過(guò)山車(chē)的原理，物理小組提出了下列的設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角為37°、長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.0 m的粗糙的傾斜軌道AB，通過(guò)水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個(gè)軌道除AB段以外都是光滑的，其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示。一個(gè)小物塊以初速度v₀=4.0 m/s，從某一高處水平拋出，到A點(diǎn)時(shí)速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下。已知物塊與傾斜軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.50。（g取10 m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80）
(1)要使小物塊不離開(kāi)軌道，并從水平軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？
(2)a．為了讓小物塊不離開(kāi)軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？
b．按照“a”的要求，小物塊進(jìn)入軌道后可以有多少次通過(guò)圓軌道上距水平軌道高為0.01 m的某一點(diǎn)。

Answer 1

解：(1)小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t到達(dá)A處時(shí)，令下落的高度為h，水平分速度為v_x，豎直分速度為v_y


物體落在斜面上后，受到斜面的摩擦力f=μF_N=μmgcos37°
設(shè)物塊進(jìn)入圓軌道到最高點(diǎn)時(shí)有最小速度v₁，此時(shí)物塊受到的重力恰好提供向心力，令此時(shí)半徑為R₀

物塊從拋出到圓軌道攝高點(diǎn)的過(guò)程中
聯(lián)立上式，解得：R₀=0.66 m
若物塊從水平軌道DE滑出，圓弧軌道的半徑有：R₁≤0.66 m
(2)a．為了讓小物塊不離開(kāi)軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則物塊上升的高度須小于或等于R'₀
 
解得R'₀=1.65 m
物塊能夠滑回傾斜軌道AB，則R₂≥1.65 m
b．物塊沖上圓軌道H₁=1.65 m高度時(shí)速度變?yōu)?，然后返回傾斜軌道h₁高處再滑下，然后再次進(jìn)入圓軌道達(dá)到的高度為H₂。有


得
之后物塊在豎直圓軌道和傾斜軌道之間往返運(yùn)動(dòng)，同理：n次上升的高度(n>0)為一等比數(shù)列
當(dāng)n=5時(shí)，上升的最大高度小于0.01 m，則物塊共有8次通過(guò)距水平軌道高為0.01 m的某一點(diǎn)