Question

（2009?宜昌模擬）如圖所示，相距2L的AB、CD兩直線(xiàn)間的區(qū)域存在著兩個(gè)方向相下方的電場(chǎng)界勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中PT上方的電場(chǎng)E₁豎直向下，下方的電場(chǎng)E₀豎直向上，PQ上連續(xù)分布著電量為+q、質(zhì)量為m的粒子，依次以相同的初速度v₀．垂直射入E₀中，PQ=L．若從Q點(diǎn)射入的粒子恰從M點(diǎn)水平射出，其軌跡如圖，MT=

L

2

．不計(jì)粒子的重力及它們間的相互作用．試求：
（1）E₀與E₁的大��；
（2）若從M點(diǎn)射出的粒子恰從中點(diǎn)S孔垂直射入邊長(zhǎng)為a的正方形容器中，容器中存在如圖所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知粒子運(yùn)動(dòng)的半徑小于a．欲使粒子與器壁多次垂直碰撞后仍能從S孔射出（粒子與絕緣壁碰撞時(shí)無(wú)能量和電量損失），求磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿(mǎn)足的條件？
（3）在PQ間還有許多水平射入電場(chǎng)的粒子通過(guò)電場(chǎng)后也能從CD邊水平射出，這些入射點(diǎn)到P點(diǎn)的距離應(yīng)滿(mǎn)足的條件？

Answer 1

分析：（1）粒子在兩電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由圖可得出粒子在兩電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況；分別沿電場(chǎng)方向和垂直電場(chǎng)方向列出物理規(guī)律，聯(lián)立可解得電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，由題意可知其運(yùn)動(dòng)的臨界半徑值，再由牛頓第二定律可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）設(shè)粒子第一次達(dá)PT直線(xiàn)用時(shí)△t，水平位移為△x，豎直位移為△y，推導(dǎo)出△x和△y與時(shí)間△t的關(guān)系式，再分兩種情況進(jìn)行討論：1、若粒子從E₁電場(chǎng)垂直CD射出電場(chǎng)；2、若粒子從E0電場(chǎng)垂直CD射出電場(chǎng)．

解答：解：（1）設(shè)粒子在E₀和E₁的時(shí)間分別為t₁與t₂，到達(dá)R時(shí)豎直速度為v_y，則：
由s=

1

2

at²、v=at及F=qE=ma得：
  L=

1

2

a₁t

2 1

=

1

2

qE 0

m

t

2 1

  ①
 

L

2

=

1

2

a2t

2 2

=

1

2

qE 1

m

t

2 2

  ②
 v_y=

qE0

m

t1=

qE1

m

t2   ③
  v₀（t₁+t₂）=2L　�、�
上述三式聯(lián)立得：E₁=2E₀，E₀=

9m v 2 0

8qL

即　E₁=

9m v 2 0

4qL

（2）欲使粒子仍能從S孔射出，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是如圖所示
的情形，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為R₁
則　R₁=

a

2(2n+1)

，n=0，1，2…
又　qv₀B₁=

mv   2 0

R1

解得：B₁=

2(2n+1)mv0

qa

，n=0，1，2，3…
（3）由E₁=2E₀及③式可得t₁=2t₂ 　則PR=2RT
設(shè)粒子第一次達(dá)PT直線(xiàn)用時(shí)△t，水平位移為△x，則
△x=v₀△t
△y=

1

2

qE0

m

(△t) 2
討論：
1、若粒子從E₁電場(chǎng)垂直CD射出電場(chǎng)，則
 （3n+1）△x+

△x

2

=2L　（n=0，1，2，3…）
得：△y=

1

2

qE0

m

(

△x

v0

) 2=

1

2

qE0

m

(

4L

3(2n+1)v0

) 2=

L

(2n+) 2

（n=0，1，2，3…）
2、若粒子從E0電場(chǎng)垂直CD射出電場(chǎng)，則
  3k△x=2L�。╧=1、2、3、…）
得△y=

1

2

qE0

m

(

△x

v0

) 2=

1

2

qE0

m

(

2L

3kv0

) 2=

L

4k 2

（k=1、2、3、…）
答：
（1）E₀與E₁的大小分別為

9m v 2 0

8qL

和

9m v 2 0

4qL

；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿(mǎn)足的條件是B₁=

2(2n+1)mv0

qa

，n=0，1，2，3…．
（3）在PQ間還有許多水平射入電場(chǎng)的粒子通過(guò)電場(chǎng)后也能從CD邊水平射出，這些入射點(diǎn)到P點(diǎn)的距離應(yīng)滿(mǎn)足的條件是：
 1、若粒子從E₁電場(chǎng)垂直CD射出電場(chǎng)，則
△y=

1

2

qE0

m

(

△x

v0

) 2=

1

2

qE0

m

(

4L

3(2n+1)v0

) 2=

L

(2n+) 2

（n=0，1，2，3…）
 2、若粒子從E0電場(chǎng)垂直CD射出電場(chǎng)，則
△y=

1

2

qE0

m

(

△x

v0

) 2=

1

2

qE0

m

(

2L

3kv0

) 2=

L

4k 2

（k=1、2、3、…）．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在電場(chǎng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要把握其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在電場(chǎng)中利用幾何關(guān)系得出其沿電場(chǎng)．和垂直于電場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；而在磁場(chǎng)中也是要注意找出相應(yīng)的幾何關(guān)系，從而確定圓心和半徑．