Question

如圖1所示，水平放置長為L的平行金屬板A和B的距離為d，它們的右端安放著垂直于金屬板的靶MN，現在A、B板上加上如圖2所示的方波電壓，電壓的正向值為U₀，反向電壓值為

U0

2

，且每隔

T

2

換向一次，現有質量為m、帶正電且電量為q的粒子束從A、B的中點O沿平行于金屬板方向OO′射入，設粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B間的飛行時間均為T．不計重力的影響，試問：
（1）在靶MN上距其中心O′點多遠的范圍內有粒子擊中？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數值應滿足什么條件？（寫出U₀、m、d、q、T的關系式即可）
（3）求打在靶上的粒子的速度有多大？

Answer 1

分析：1、由運動的獨立性可知，帶電粒子在水平方向做勻速直線運動，豎直方向在電場力的作用下做變速運動．粒子打在靶MN上的范圍，實際上就是粒子在豎直方向所能到達的范圍．分別計算當粒子在0，T，2T，…nT時刻進入電場中和粒子在

T

2

，3

T

2

，…（2n+1）

T

2

時刻進入電場時，這兩種情況向粒子在豎直方向上的位移．比較哪個最大，最大是多少．
2、要使粒子能全部打在靶上，豎直方向上最大位移必須小于

d

2

，列式化簡即可．
3、根據動量定理，求解垂直于極板的速度度為V_y，在平行于極板方向做勻速直線運動，所以平行于極板的速度v0=

L

T

，根據勾股定理v=

v02+vy2

計算打在靶上的粒子的速度．

解答：解：由運動的獨立性可知，帶電粒子在水平方向做勻速直線運動，豎直方向在電場力的作用下做變速運動．粒子打在靶MN上的范圍，實際上就是粒子在豎直方向所能到達的范圍．
（1）當粒子在0，T，2T，…nT時刻進入電場中時，粒子將打在O′點下方最遠點，在前

T

2

時間內，粒子在豎直向下的位移為：
s1=

1

2

a1(

T

2

)2=

qU0T2

8md

在后

T

2

時間內，粒子在豎直向下的位移為：s2=v?

T

2

-

1

2

a2(

T

2

)2
將v=a1

T

2

=

qU0

2md

，a2=

qU0

2md

代入上式得：s2=

3qU0T2

16md

故粒子打在距O′點正下方的最大位移為：s=s1+s2=

5qU0T2

16md

當粒子在

T

2

，3

T

2

，…（2n+1）

T

2

時刻進入電場時，將打在O′點上方最遠點，在前

T

2

時間內，粒子在豎直向上的位移為：
s1′=

1

2

a1′(

T

2

)2=

1

2

qU0

md

(

T

2

)2=

qU0T2

16md

在后

T

2

時間內，粒子在豎直向上的位移為：s2′=v′

T

2

-

1

2

a2′(

T

2

)2
其中，v′=a1′

T

2

=

qU0T

4md

，a2′=

qU0

md

，代入上式得：s₂′=0，
故粒子打在距O′點正上方的最大位移為：s′=s1′+s2′=

qU0T2

16md

．
（2）要使粒子能全部打在靶上，須有：

5qU0T2

16md

＜

d

2

，即U0＜

8md2

5qT2

．
（3）因為粒子在平行于極板方向做勻速直線運動，所以平行于極板的速度：
v0=

L

T

設垂直于極板的速度度為V_y，則據動量定理有：
mvy=

qU0

d

T

2

-

qU0

2d

T

2

=

1

4

qU0

d

T
所以打在靶上粒子的速度為v=

v02+vy2

=

L2 T2 + q2U02T2 16m2d2

答：（1）故粒子打在距O′點正上方的最大位移為：

qU0T2

16md

．
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數值應滿足U0＜

8md2

5qT2

．
（3）打在靶上的粒子的速度為

L2 T2 + q2U02T2 16m2d2

．

點評：本題是帶電粒子在電場中的偏轉，是典型的類平拋運動的問題，把粒子的運動分解為水平和豎直方向上的運動，在水平方向上做勻速運動，豎直方向上做勻速直線運動，本題還要注意電場力的大小和方向具有周期．