Question

3．某游樂設施如圖所示，由半圓形APB和直線BC組成的細圓管軌道固定在水平桌面上（圓半徑比細管內徑大得多），軌道內壁光滑．已知APB部分的半徑R=0.8m，BC段長L=1.6m．彈射裝置將一質量m=0.2kg的小球（可視為質點）以水平初速度v₀從A點彈入軌道，小球從C點離開軌道水平拋出，落地點D離C點的水平距離為s=1.6m，桌子的高度h=0.8m，不計空氣阻力，取g=10m/s²．求：
（1）小球水平初速度v₀的大�。�
（2）小球在半圓形軌道上運動時的角速度ω以及從A點運動到C點的時間t；
（3）小球在半圓形軌道上運動時細圓管對小球的作用力F的大�。�

Answer 1

分析 （1）小球離開軌道后做平拋運動，由h和s結合求小球水平初速度v₀的大小；
（2）小球在半圓形APB管內做勻速圓周運動時，角速度ω=$\frac{{v}_{0}}{R}$，小球從A到B的時間t₁=$\frac{πR}{{v}_{0}}$，從B到C做勻速直線運動，時間為t₂=$\frac{L}{{v}_{0}}$．
（3）根據牛頓第二定律求出圓管對小球的作用力F的大小．

解答 解：（1）小球離開軌道后做平拋運動，則有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
s=v₀t
得：v₀=s$\sqrt{\frac{g}{2h}}$=1.6×$\sqrt{\frac{10}{1.6}}$=4m/s
（2）小球在半圓形軌道上運動時的角速度為：
ω=$\frac{{v}_{0}}{R}$=$\frac{4}{0.8}$=5rad/s
小球從A到B的時間為：
t₁=$\frac{πR}{{v}_{0}}$=$\frac{3.14×0.8}{4}$=0.628s，
從B到C做勻速直線運動，時間為：t₂=$\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{1.6}{4}$=0.4s．
因此從A點運動到C點的時間為：t=t₁+t₂=1.028s
（3）根據牛頓第二定律得，圓管對小球的水平作用力大小為：F_x=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$=0.2×$\frac{{4}^{2}}{0.8}$=4N．
豎直作用力大小為：F_y=mg=2N
故細圓管對小球的作用力為：F=$\sqrt{{F}_{x}^{2}+{F}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{5}$N
答：（1）小球水平初速度v₀的大小是4m/s；
（2）小球在半圓形軌道上運動時的角速度ω是5rad/s，從A點運動到C點的時間t是1.028s；
（3）小球在半圓形軌道上運動時細圓管對小球的作用力F的大小是2$\sqrt{5}$N．

點評 本題是勻速圓周運動、勻速直線運動和平拋運動的組合，記住勻速圓周運動的角速度、向心力等等公式，就可以輕松解答，但要注意F≠m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，要運用正交分解法求F．