Question

17．云霄飛車是迪士尼游樂項(xiàng)目之一，其實(shí)就是一種過山車，為明白其原理特簡(jiǎn)化成以下模型：如圖所示軌道在豎直面內(nèi)，由傾斜、圓形、水平三部分組成，其中圓形部分兩邊的是圓環(huán)，中間的是圓管，B、C、D分別是軌道的三個(gè)圓形部分的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，軌道傾斜、圓形部摩擦不計(jì)，飛車與軌道的水平部分間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，半徑R₁=2.0m、R₂=3.0m，整個(gè)軌道裝置的質(zhì)量M=4kg，固定在地面上．質(zhì)量為m=2.0kg的飛車（視為質(zhì)點(diǎn)，軌道圓管部分的直徑比飛車高度略大）從軌道的左側(cè)A點(diǎn)靜止滑下，當(dāng)飛車運(yùn)動(dòng)到軌道的第一個(gè)圓形部分的最高點(diǎn)時(shí)，整個(gè)軌道對(duì)地剛好無壓力，且飛車恰好能過軌道的第二、三個(gè)圖形部分的最高點(diǎn)．假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，軌道的圓形間不互相重疊．重力加速度取g=10m/s²．試求：
（1）飛車出發(fā)位置到軌道最低點(diǎn)的高度；
（2）B、C間距應(yīng)是多少？
（3）軌道的第三個(gè)圓形部分的半徑R₃是多少；飛車最終停留點(diǎn)與D點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)軌道對(duì)地面恰好無壓力可明確飛車對(duì)軌道的作用點(diǎn)，從而明確軌道對(duì)飛車的作用力；再根據(jù)向心力公式即可明確飛車在第一個(gè)最高點(diǎn)的速度；再由機(jī)械能守恒定律可求得開始下落點(diǎn)的高度；
（2）第二個(gè)軌道為圓環(huán)，只要能到最高點(diǎn)即可；故臨界值為最高點(diǎn)的速度為零；根據(jù)動(dòng)能定理可求得BC間的距離；
（3）根據(jù)臨界條件可求得小球能經(jīng)過最高點(diǎn)的臨界條件，由向心力公式可求得最高點(diǎn)的速度；再對(duì)第二個(gè)圓環(huán)最高點(diǎn)到靜止過程分析，由動(dòng)能定理可求得最后在水平面上滑行的距離．

解答 解：（1）要使飛車到達(dá)軌道的第一個(gè)圓形部分的最高點(diǎn)時(shí)，整個(gè)軌道對(duì)地剛好無壓力，則說明飛車對(duì)軌道向上的壓力為F_N=Mg=4×10=40N； 則可知軌道對(duì)飛車由向下的40N的壓力； 由向心力公式可知：
mg+F_N′=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
對(duì)飛車由最高點(diǎn)下滑到第一個(gè)軌道的最高點(diǎn)過程由機(jī)械能守恒定律可知：
mg（h-2R₁）=$\frac{1}{2}$mv₁²
聯(lián)立解得：h=7m；
（2）飛車恰能通過第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)，則有：
v₂=0；
對(duì)從最高點(diǎn)至到達(dá)第二個(gè)軌道的最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理可知：
mg（h-2R₂）-μmgs=$\frac{1}{2}$mv₂²；
聯(lián)立解得：s=0.5m；
（3）飛車通過最后一個(gè)圓形最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)向心力公式有：
mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{{R}_{3}}$
對(duì)從第二個(gè)軌道的最高點(diǎn)到三個(gè)軌道的最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理可知：
mg（2R₂-2R₃）-μmgs=$\frac{1}{2}$mv₃²
解得：R₃=2.36m；
對(duì)第三個(gè)軌道的最高點(diǎn)到最終停止過程，由動(dòng)能定理可知：
μmgx=$\frac{1}{2}$mv₃²
解得：x=0.59m；
答：（1）飛車出發(fā)位置到軌道最低點(diǎn)的高度7m；
（2）B、C間距應(yīng)是0.5m；
（3）軌道的第三個(gè)圓形部分的半徑R₃是2.36m；飛車最終停留點(diǎn)與D點(diǎn)的距離0.59m

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、向心力公式等，要注意最高點(diǎn)臨界條件的分析，明確第二個(gè)環(huán)可以視為桿模型，而第一和第三個(gè)環(huán)應(yīng)視為繩模型； 然后再靈活選擇物理過程分析求解．