Question

16．如圖所示，直角坐標系xOy位于豎直平面內(nèi)，在水平的x軸下方存在勻強磁場和勻強電場，磁場的磁感應(yīng)為B，方向垂直xOy平面向里，電場線平行于y軸．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點水平向右拋出，經(jīng)x軸上的M點進入電場和磁場，恰能做勻速圓周運動，從x軸上的N點第一次離開電場和磁場，MN之間的距離為L，小球過M點時的速度方向與x軸的方向夾角為θ．不計空氣阻力，重力加速度為g，求
（1）電場強度E的大小和方向；
（2）小球從A點拋出時初速度v₀的大�。�
（3）A點到x軸的高度h．

Answer 1

分析 （1）帶電小球在受到重力、電場力、洛倫茲力共同作用下做勻速圓周運動，可得知電場力與重力是一對平衡力，從而可得知電場的方向；由二力平衡可求出電場的大小．
（2）先由幾何關(guān)系表示出小球在復合場中做圓周運動的半徑，結(jié)合半徑公式和速度的分解，便可求出小球拋出時的初速度．
（3）小球在電場中做類平拋運動，應(yīng)用類平拋運動規(guī)律可以求出h大�。�

解答 解：（1）小球在電場、磁場中恰能做勻速圓周運動，
說明電場力和重力平衡（恒力不能充當圓周運動的向心力），
有：qE=mg，
解得：E=$\frac{mg}{q}$；
重力的方向豎直向下，電場力方向只能向上，
由于小球帶正電，所以電場強度方向豎直向上．
（2）小球做勻速圓周運動，O′為圓心，MN為弦長，
∠MO′P=θ，如圖所示．設(shè)半徑為r，由幾何關(guān)系知：sinθ=$\frac{L}{2r}$，
小球做勻速圓周運動的向心力由洛侖茲力提供，設(shè)小球做圓周運動的速率為v，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
由速度的合成與分解知：cosθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$，
解得：v₀=$\frac{qBLcotθ}{2m}$；
（3）設(shè)小球到M點時的豎直分速度為v_y，
它與水平分速度的關(guān)系為：v_y=v₀tanθ，
由勻變速直線運動規(guī)律得：v_y²=2gh，
解得：h=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}^{2}g}$；
答：（1）電場強度E的大小為：$\frac{mg}{q}$，方向：豎直向上；
（2）小球從A點拋出時初速度v₀的大小為$\frac{qBLcotθ}{2m}$；
（3）A點到x軸的高度h為$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}^{2}g}$．

點評 該題考察到了復合場的問題，即在同一區(qū)域內(nèi)同時存在電場、磁場和重力場三者中的任何兩個，或三者都存在．此類問題看似簡單，受力不復雜，但仔細分析其運動往往比較難以把握．
常用的處理方法：
1、建立帶電粒子在復合場中運動的物理情景．
2、物理情（圖）景與解析幾何知識有機結(jié)合，將物理問題化歸為數(shù)學問題．
思想方法：數(shù)理結(jié)合，建模和化歸的思想方法．
解題思維流程：題給文字信息→建立物理圖景→化歸為幾何問題→還原為物理結(jié)論（構(gòu)建物理圖景（模型）是關(guān)鍵、化歸為幾何問題是手段）．