Question

17．如圖所示，MN、PQ是足夠長(zhǎng)的光滑平行導(dǎo)軌，其間距為L(zhǎng)，且MP與兩導(dǎo)軌垂直，導(dǎo)軌平面與水平面間的夾角θ=30°．M、P和N、Q之間均接阻值為2R的電阻．有一垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B₀．將一根質(zhì)量為m的金屬棒ab緊靠MP放在導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的電阻為R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．現(xiàn)用與導(dǎo)軌平行的恒力F=mg沿導(dǎo)軌平面向上拉金屬棒，使金屬棒從靜止開始沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)，金屬棒在運(yùn)動(dòng)過程中始終與MP平行．當(dāng)金屬棒滑行至cd處時(shí)已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定速度，cd到MP的距離為s，重力加速度為g．
（1）求金屬棒達(dá)到的穩(wěn)定速度v．
（2）求金屬棒從靜止開始運(yùn)動(dòng)到cd的過程中，導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的熱量．
（3）當(dāng)金屬棒滑行至cd時(shí)，去掉NQ間的電阻2R，為使導(dǎo)體棒的速度不變，拉力應(yīng)變?yōu)槎嗌�？若保持此拉力，將此時(shí)刻記作t=0，并讓磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸減小，可使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，寫出磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，由安培力力公式求出安培力，由平衡條件求出速度．
（2）由能量守恒定律求出產(chǎn)生的熱量．
（3）求出安培力，由平衡條件可以求出拉力大小，由牛頓第二定律求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出位移，根據(jù)感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）當(dāng)金屬棒穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)，
由平衡條件得：F=mgsin θ+F_安，
安培力：F_安=B₀IL=$\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}v}{2R}$；
解得：v=$\frac{mgR}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}$．
（2）設(shè)金屬棒從靜止開始運(yùn)動(dòng)到cd的過程中，導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的熱量為Q，則整個(gè)電路產(chǎn)生的焦耳熱為2Q，
由能量守恒定律得：Fs=mgs•sin θ+2Q+$\frac{1}{2}$mv²，解得：Q=$\frac{1}{4}$mgs-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{4{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}$；
（3）當(dāng)金屬棒運(yùn)動(dòng)到cd時(shí)，去掉NQ間的電阻，為使導(dǎo)體棒的速度不變，即使金屬棒處于平衡狀態(tài)，設(shè)拉力變?yōu)镕₁，
由平衡條件得：F₁=mgsin θ+F_安'，安培力：F_安'=B₀I′L=B₀$\frac{{B}_{0}Lv}{3R}$L，解得：F₁=$\frac{5}{6}$mg，
當(dāng)回路中的總磁通量不變時(shí)，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，此時(shí)金屬棒將沿導(dǎo)軌做勻加速運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：F₁-mgsin θ=ma，解得：a=$\frac{1}{3}$g，導(dǎo)體棒的位移：x=vt+$\frac{1}{2}$at²，
導(dǎo)體棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，穿過回路的磁通量不變，
即：B₀Ls=BL（s+vt+$\frac{1}{2}$at²），解得：B=$\frac{6{{B}_{0}}^{3}{L}^{2}s}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}（6s+g{t}^{2}）+6mgRt}$．
答：（1）金屬棒達(dá)到的穩(wěn)定速度v為$\frac{mgR}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}$．
（2）金屬棒從靜止開始運(yùn)動(dòng)到cd的過程中，導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的熱量為$\frac{1}{4}$mgs-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{4{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}$．
（3）當(dāng)金屬棒滑行至cd時(shí)，去掉NQ間的電阻2R，為使導(dǎo)體棒的速度不變，拉力應(yīng)變?yōu)?\frac{5}{6}$mg；
若保持此拉力，將此時(shí)刻記作t=0，并讓磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸減小，可使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為：B=$\frac{6{{B}_{0}}^{3}{L}^{2}s}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}（6s+g{t}^{2}）+6mgRt}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求速度、熱量、拉力大小、磁感應(yīng)強(qiáng)度，分析清楚金屬棒的運(yùn)動(dòng)過程，知道感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件，應(yīng)用安培力公式、平衡條件、能量守恒定律、牛頓第二定律即可正確解題．