Question

2．我國于2007年和2010年分別將“嫦娥一號”和“嫦娥二號”成功發(fā)射，“嫦娥三號”亦在2013年落月探測90天，并已給落月點起了一個富有詩意的名字--“廣寒宮”．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，月球繞地球的運動近似看做勻速圓周運動，請求出月球繞地球運動的軌道半徑r；
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個小球，經(jīng)過時間t，小球落回拋出點．已知月球半徑為R_月，引力常量為G，請求出月球的質(zhì)量m_月．

Answer 1

分析 （1）在月球表面重力與萬有引力相等，月球繞地球勻速圓周運動萬有引力提供圓周運動向心力據(jù)此計算月球運動的軌道半徑；
（2）根據(jù)豎直上拋運動軌道求出月球表面重力加速度，再根據(jù)重力與萬有引力相等求得月球質(zhì)量．

解答 解：（1）在地球表面有重力與萬有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$…①
月球繞地球運轉有萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…②
由①②解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）設月球表面處的重力加速度為g_月  
對豎直上拋小球有：g_月=$\frac{2{v}_{0}}{t}$…③
在月球表面有：$G\frac{{M}_{月}}{{r}_{月}^{2}}={g}_{月}$…④
由③④解得：M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$
答：（1）月球繞地球運動的半徑r為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）月球的質(zhì)量為$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$．

點評 對于天體運動問題，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式只能求出中心體的質(zhì)量．另外一個思路是重力等于萬有引力，得到GM=gR²，常常稱為黃金代換式．