Question

3．如圖所示，一個半徑為R，可繞左端轉(zhuǎn)軸O在豎直平面轉(zhuǎn)動的半圓形輕質(zhì)彎管，上面固定有兩個質(zhì)量相等的小球A，B，彎管的圓心為C，且AC⊥OB，且OB水平，若從圖示位置靜止釋放，則A球運動到最低點時的速度大小為$\sqrt{\frac{4}{3}gR}$．

Answer 1

分析 在彎管運動的過程中，A、B組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，確定各點的重力勢能的變化，以及A與B的速度之間的關(guān)系即可正確解答．

解答 解：則A球運動到最低點時的位置如圖，可知A的重力勢能減小2mgR，B的重力勢能不變；
在彎管運動的過程中，A與B隨彎管一起做圓周運動，速度的方向與AO、BO連線的方向垂直．
設(shè)彎管的角速度為ω，則A的線速度：${v}_{A}=ω•\overline{AO}=\sqrt{2}ωR$  ①
B點的線速度：${v}_{B}=ω•\overline{BO}=2ωR$  ②
在運動的過程中只有重力做功，A減少的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為A與B的動能，即：
$mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$  ③
聯(lián)立以上公式，得：$ω=\sqrt{\frac{2g}{3R}}$，${v}_{A}=\sqrt{\frac{4}{3}gR}$
故答案為：$\sqrt{\frac{4}{3}gR}$

點評 該題中，A與B都是繞O點做圓周運動，所以A運動的半徑是$\sqrt{2}$R，不是R．另外考慮到A與B隨彎管一起運動，它們的角速度是相等的是解答的關(guān)鍵．