Question

5．如圖，足夠長平行金屬導軌內有垂直紙面向里的勻強磁場，金屬桿ab與導軌垂直且接觸良好，導軌右端通過電阻與平行金屬板AB連接．已知導軌相距為L；磁場磁感應強度為B；R₁、R₂和ab桿的電阻值均為r，其余電阻不計；板間距為d、板長為4d；重力加速度為g，不計空氣阻力．
如果ab桿以某一速度向左勻速運動時，沿兩板中心線水平射入質量為m、帶電量為+q的微粒恰能沿兩板中心線射出；如果ab桿以同樣大小的速度向右勻速運動時，該微粒將射到B板距左端為d的C處．
（1）求ab桿勻速運動的速度大小v；
（2）求微粒水平射入兩板時的速度大小v₀；
（3）如果以v₀沿中心線射入的上述微粒能夠從兩板間射出，試討論ab桿向左勻速運動的速度范圍．

Answer 1

分析 （1）ab桿以某一速度向左勻速運動時，沿兩板中心線水平射入質量為m、帶電量為+q的微粒恰能沿兩板中心線射出，此時電場力與重力平衡，可得電場強度數值，進而求得兩板間電壓，并進而求得感應電動勢和棒的速度
（2）ab桿以同樣大小的速度向右勻速運動時，粒子將做類平拋運動，由于該微粒將射到B板距左端為d的C處，可求粒子的運動初速度
（3）ab桿向左勻速運動時，電場力與重力方向相反，粒子做類平拋運動，要想使粒子射出電場水平位移應為L，同時豎直位移應該不小于$\fracgm7nxgx{2}$，棒速度較小則向下偏，較大則向上偏，討論速度的范圍．

解答 解：（1）設ab桿的速度為v，則ab桿產生的電動勢為：ε=BLv…①
兩板間的電壓為：${U_0}=\frac{1}{3}ε=\frac{BLv}{3}$…②
ab桿向左運動時：$\frac{{q{U_0}}}jq61e8p=mg$…③
①②③得：$v=\frac{3mgd}{qBL}$…④
（2）ab桿向右運動時，設帶電微粒射入兩極板時的速度為v₀，向下運動的加速度為a，
經時間t射到C點，有：$\frac{{q{U_0}}}8nlsv8d+mg=ma$…⑤
微粒做類平拋運動有：$d=v_0^{\;}t$…⑥$\frac7y53v7h{2}=\frac{1}{2}a{t^2}$…⑦
由③⑤⑥⑦得：${v_0}=\sqrt{2gd}$…⑧
（3）要使帶電微粒能從兩板射出，設它在豎直方向運動的加速度為a₁、時間為t₁，
應有：$\fract6y1tqr{2}＞\frac{1}{2}{a_1}t_1^2$…⑨${t_1}=\frac{4d}{v_0}$…⑩由⑧⑨⑩得：${a_1}＜\frac{g}{8}$…⑪
（i）若a₁的方向向上，設ab桿運動速度為v₁，
兩板電壓為：U₁=$\frac{1}{3}BL{v_1}$…⑫又有：$\frac{{q{U_1}}}1671s61-mg=m{a_1}$…⑬
⑪⑫⑬得：${v_1}＜\frac{27mgd}{8qBL}$…⑭
（ii）若a₁的方向向下，設ab桿運動速度為v₂，
兩板電壓為：U₂=$\frac{1}{3}BL{v_2}$…⑮又有：$mg-\frac{{q{U_2}}}j8kchl6=m{a_1}$…⑯
⑪⑮⑯得：${v_2}＞\frac{21mgd}{8qBL}$…⑰
所以：ab桿向左勻速運動時速度的大小范圍為：$\frac{21mgd}{8qBL}＜v＜\frac{27mgd}{8qBL}$…⑱；
答：（1）ab桿勻速運動的速度大小v是$\frac{3mgd}{qBL}$；
（2）求微粒水平射入兩板時的速度大小v₀為$\sqrt{2gd}$；
（3）如果以v₀沿中心線射入的上述微粒能夠從兩板間射出，ab桿向左勻速運動的速度范圍：$\frac{21mgd}{8qBL}＜v＜\frac{27mgd}{8qBL}$．

點評 電磁感應問題結合閉合電路歐姆定律，涉及帶電粒子在勻強電場中的類平拋運動，運算量較大，有一定難度．