Question

15．A和B兩行星繞同一恒星C做圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)方向相同，A行星的周期為T，B行星的周期為5T，從某一時(shí)刻兩行星相距最近開(kāi)始，則（　　）

• A． 經(jīng)過(guò)5T兩行星相距最近
• B． 經(jīng)過(guò)$\frac{3}{2}$T兩行星相距最近
• C． 經(jīng)過(guò)$\frac{15}{8}$T兩行星相距最遠(yuǎn)
• D． 經(jīng)過(guò)$\frac{7}{8}$T兩行星相距最遠(yuǎn)

Answer 1

分析 當(dāng)兩行星再次相距最近時(shí)，A行星比B行星多轉(zhuǎn)過(guò)的角度為2nπ，n=1，2，3，…，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的周期性求出相距最近的時(shí)間．當(dāng)兩行星相距最遠(yuǎn)時(shí)，A行星比B行星多轉(zhuǎn)過(guò)的角度為（2n-1）π，n=1，2，3，…，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的周期性求出相距最遠(yuǎn)的時(shí)間．

解答 解：當(dāng)兩行星再次相距最近時(shí)，A行星比B行星多轉(zhuǎn)過(guò)的角度為2nπ，n=1，2，3，…
則有：$（\frac{2π}{T}-\frac{2π}{5T}）t$=2nπ，n=1，2，3，…，解得t=$\frac{5nT}{4}$，知當(dāng)n=1時(shí)，t=$\frac{5T}{4}$，當(dāng)n=2時(shí)，$t=\frac{5T}{2}$，當(dāng)n=3時(shí)，t=$\frac{15}{4}T$，當(dāng)n=4時(shí)，t=5T，故A正確．
當(dāng)兩行星相距最遠(yuǎn)時(shí)，A行星比B行星多轉(zhuǎn)過(guò)的角度為（2n-1）π，n=1，2，3，…
則有：$（\frac{2π}{T}-\frac{2π}{5T}）t$=（2n-1）π，n=1，2，3，…，解得t=$\frac{5（2n-1）T}{8}$，當(dāng)n=1時(shí)，t=$\frac{5T}{8}$，當(dāng)n=2時(shí)，t=$\frac{15}{8}T$，當(dāng)n=3時(shí)，t=$\frac{25}{8}T$，當(dāng)n=4時(shí)，t=$\frac{15}{8}T$，故C正確．
故選：AC．

點(diǎn)評(píng) 解該題關(guān)鍵在于掌握A、B的角速度關(guān)系以及能根據(jù)轉(zhuǎn)過(guò)的弧度的關(guān)系列出方程，關(guān)鍵是確定相距最遠(yuǎn)和最近的幾何關(guān)系．