Question

14．如圖所示，y軸右側空間存在勻強電場和勻強磁場，電場方向為y軸正方向，磁場方向垂直于xy平面（紙面）向外，電場和磁場部可以隨意加上或撤除，重新加上的電場或磁場與撤除前的一樣．一帶正電荷的粒子從y軸上某點以一定的速度v₀平行于x軸正向入射．這時若只有磁場，粒子將做半徑為R₀的圓周運動．若同時存在電場和磁場，粒子恰好做直線運動．現(xiàn)在，只加電場，當粒子從y軸上某點P以一定的速度v₀平行于x軸正向入射，運動到x=R₀平面（圖中虛線所示）時，立即撤出電場同事加上磁場，粒子繼續(xù)運動，粒子重力忽略不計．求：
（1）粒子到達x=R₀平面平面時的速度．
（2）若要粒子運動軌跡與x軸相交，粒子的入射點P在y軸的入射范圍．

Answer 1

分析 （1）同時存在電場和磁場，粒子恰好做直線運動，電場力與洛倫茲力平衡，列出平衡方程．在磁場中粒子做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，只有電場時，粒子做類平拋運動，聯(lián)立方程組即可求解；
（2）撤電場加上磁場后做圓周運動洛倫茲力提供向心力，求得軌跡半徑R，再根據(jù)幾何關系即可求解．

解答 解：（1）做直線運動時，有：
 qE=qBv₀   
做圓周運動有：qBv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$  
只有電場時，粒子做類平拋運動，有：
     qE=ma     
     R₀=v₀t    
     v_y=at     
解得：v_y=v₀
粒子速度大小為 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}{v}_{0}$，速度方向與x軸夾角為：θ=$\frac{π}{4}$．
（2）撤電場加上磁場后，有：qBv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：R=$\sqrt{2}{R}_{0}$
設粒子在Y軸正半軸上某點入射時其運動軌跡恰與X軸相交，如右側上圖所示，則這一點Y軸坐標為：y=$\sqrt{2}{R}_{0}+{R}_{0}$-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：y=$\sqrt{2}{R}_{0}+\frac{1}{2}{R}_{0}$
設粒子在Y軸負半軸上某點入射時其運動軌跡恰與X軸相交，如右側下圖所示，則這一點Y軸坐標為：y=-（$\sqrt{2}{R}_{0}+{R}_{0}$+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$）
解得：y=-（$\sqrt{2}{R}_{0}-\frac{1}{2}{R}_{0}$）
所以要粒子運動軌跡與X軸相交，粒子在Y軸的入射范圍為：
-（$\sqrt{2}{R}_{0}-\frac{1}{2}{R}_{0}$）≤y≤（$\sqrt{2}{R}_{0}+\frac{1}{2}{R}_{0}$）
答：
（1）粒子到達x=R₀平面平面時的速度大小為$\sqrt{2}{v}_{0}$，速度方向與x軸夾角為：θ=$\frac{π}{4}$．
（2）若要粒子運動軌跡與x軸相交，粒子的入射點P在y軸的入射范圍為-（$\sqrt{2}{R}_{0}-\frac{1}{2}{R}_{0}$）≤y≤（$\sqrt{2}{R}_{0}+\frac{1}{2}{R}_{0}$）．

點評 該題是帶電粒子在復合場中運動的問題，要求同學們理解僅有電場時，粒子做類平拋運動，只有磁場時做勻速圓周運動，再根據(jù)圓周運動和平拋運動的基本公式及幾何關系解題．