Question

3．如圖所示，傳送帶與地面成夾角θ=37°，以10m/s的速度逆時針轉(zhuǎn)動，在傳送帶上端輕輕地放一個質(zhì)量m=0.5kg的物體，它與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，已知傳達帶從A→B的長度L=16m，則
（1）物體從A到B需要的時間為多少？
（2）到達B點的速度是多少？
（3）該過程因摩擦生熱多少？
（4）若傳送帶靜止，物體由A到B的時間是多少？
（5）若傳送帶以10m/s的速度順時針轉(zhuǎn)動，物體由A到B的時間是多少？

Answer 1

分析 （1）物體在傳送帶上受到重力、支持力和滑動摩擦力作用，先做初速度為0的勻加速直線運動，當速度和傳送帶速度一樣時進行判斷物體跟隨傳送帶勻速還是單獨做勻變速直線運動，根據(jù)總位移為16m，可以求出整個運動過程的時間t．
（2）結(jié)合上題的結(jié)果，由速度時間公式求到達B點的速度．
（3）由位移公式求出物體和傳送帶對地的位移，從而得到相對位移，再求摩擦生熱．
（4）由牛頓第二定律求加速度，再由位移時間公式求時間．
（5）若傳送帶以10m/s的速度順時針轉(zhuǎn)動時，物體的運動情況與傳送帶靜止時相同，運動時間也相同．

解答 解：（1）物體放上傳送帶后，開始一段時間t₁內(nèi)做初速度為0的勻加速直線運動，物體受到沿斜面向下的滑動摩擦力，物體所受合力為：F_合=mgsinθ+f
又因為 f=μN=μmgcosθ
所以根據(jù)牛頓第二定律可得：
    a=$\frac{{F}_{合}}{m}$=g（sin37°+μcos37°）=10×（0.6+0.5×0.8）=10m/s²
當物體速度增加到10m/s時產(chǎn)生的位移為：
   x=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{1{0}^{2}}{2×10}$=5m＜16m
所用時間為：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{10}{10}$s=1s，
物體速度增加到10m/s后，由于mgsinθ＞μmgcosθ，所以物體將受沿傳送帶向上的滑動摩擦力，做勻加速直線運動
加速度為 a′=$\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=gsin37°-μgcos37°=10×（0.6-0.5×0.8）=2m/s²
設從共速到勻加速運動到B的時間為t₂，
則 L-x=vt₂+$\frac{1}{2}$a′t₂²
代入數(shù)據(jù)得 16-5=10t₂+t₂²
解得：t′=1s或-11s（舍去）
故總時間為 t_總=t₁+t₂=1s+1s=2s
（2）到達B點的速度 v_B=v+a′t₂=10+2×1=12m/s
（3）第一個勻加速運動的過程中傳送帶的位移 x₁=vt₁=10×1=10m，物體與傳送帶的相對位移△x₁=x₁-x=10-5=5m
第二個勻加速運動的過程中傳送帶的位移 x₂=vt₂=10×1=10m，物體與傳送帶的相對位移△x₂=（L-x）-x₂=16-5-10=1m
故該過程因摩擦生熱 Q=μmgcosθ（△x₁+△x₂）
代入數(shù)據(jù)解得 Q=12J
（4）若傳送帶靜止，物體一直做勻加速直線運動，設運動時間為t．
加速度為 a″=$\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=gsin37°-μgcos37°=10×（0.6-0.5×0.8）=2m/s²
由L=$\frac{1}{2}a″{t}^{2}$得
   t=$\sqrt{\frac{2L}{a″}}$=$\sqrt{\frac{2×16}{2}}$=4s
（5）若傳送帶以10m/s的速度順時針轉(zhuǎn)動時，物體的受力情況和傳送帶靜止時相同，則物體的運動情況與傳送帶靜止時相同，運動時間也相同，仍是4s．
答：
（1）物體從A到B需要的時間為2s．
（2）到達B點的速度是12m/s．
（3）該過程因摩擦生熱是12J．
（4）若傳送帶靜止，物體由A到B的時間是4s．
（5）若傳送帶以10m/s的速度順時針轉(zhuǎn)動，物體由A到B的時間是4s．

點評 解決本題的關(guān)鍵理清物體在傳送帶上的運動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運動學公式綜合研究，要注意摩擦生熱與相對位移有關(guān)．