Question

19．一航天儀器在地面上重為F₁，被宇航員帶到月球表面上時(shí)重為F₂．已知月球半徑為R，引力常量為G，地球表面的重力加速度大小為g₀，求：
（1）月球的密度；
（2）月球的第一宇宙速度和近月衛(wèi)星（貼近月球表面）的周期．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)物體在月球上的重力等于月球?qū)ξ矬w的萬有引力求出月球的質(zhì)量，結(jié)合月球的體積求出月球的密度．
（2）根據(jù)重力提供向心力求出月球的第一宇宙速度以及近月衛(wèi)星的周期．

解答 解：（1）在地面上有：F₁=mg₀，
在月球表面上有：${F}_{2}=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，
月球的質(zhì)量為：M=$\frac{4π}{3}{R}^{3}ρ$，
聯(lián)立解得月球的密度為：ρ=$\frac{3{g}_{0}{F}_{2}}{4πGR{F}_{1}}$．
（2）設(shè)月球的第一宇宙速度為v，近月衛(wèi)星的周期為T，則
${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
F₁=mg₀，
T=$\frac{2πR}{v}$，
解得v=$\sqrt{\frac{{F}_{2}R{g}_{0}}{{F}_{1}}}$，T=$\frac{2πR}{v}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{R{F}_{1}}{{g}_{0}{F}_{2}}}$．
答：（1）月球的密度為$\frac{3{g}_{0}{F}_{2}}{4πGR{F}_{1}}$；
（2）月球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{{F}_{2}R{g}_{0}}{{F}_{1}}}$，近月衛(wèi)星（貼近月球表面）的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{R{F}_{1}}{{g}_{0}{F}_{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運(yùn)用．