Question

7．矩形裸導(dǎo)線框長邊的長度為2L，短邊的長度為L，在兩個短邊上分別接有阻值為R₁、R₂的電阻，其余部分電阻均不計，以導(dǎo)線框的一個頂點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，導(dǎo)線框的位置和框內(nèi)的磁場方向及分布情況如圖所示，磁場和磁感應(yīng)強度大小B=B₀cos（$\frac{πx}{2L}$），一電阻不計的光滑導(dǎo)體棒AB與短邊平行且與長邊始終接觸良好，起初導(dǎo)體棒處于x=0處，從t=0時刻起，導(dǎo)體棒AB在沿x軸方向的外力F的作用下做速度為v的勻速運動，不計一切摩擦，試求：
（1）導(dǎo)體棒所產(chǎn)生的電動勢的表達式；
（2）導(dǎo)體棒AB從x=0運動到x=2L的過程中外力F隨時間t變化的規(guī)律；
（3）導(dǎo)體棒AB從x=0運動到x=2L的過程中，所產(chǎn)生的電動勢的有效值．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒勻速運動，其坐標(biāo)為x=vt，由e=BLv求出導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，
（2）根據(jù)閉合電路歐姆定律求出 通過AB棒的感應(yīng)電流i，由F_安=BiL求安培力，即可由平衡條件求得外力與t關(guān)系的表達式；
（3）導(dǎo)體棒AB在切割磁感線的過程中產(chǎn)生半個周期的正弦交流電，由感應(yīng)電動勢的瞬時表達式，求出感應(yīng)電動勢的最大值，再得到有效值．

解答 解：（1）在t時刻AB棒的坐標(biāo)為：x=vt
感應(yīng)電動勢的瞬時值：e=BLv=B₀Lvcos（$\frac{πx}{2L}$）=B₀Lvcos（$\frac{πvt}{2L}$）．
（2）回路總電阻：R_總=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$ 
回路感應(yīng)電流：i=$\frac{e}{{R}_{總}}$=$\frac{{B}_{0}Lv（{R}_{1}+{R}_{2}）cos（\frac{πx}{2L}）}{{R}_{1}{R}_{2}}$
棒AB勻速運動時有：F=F_安=BiL
解得：F=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v（{R}_{1}+{R}_{2}）co{s}^{2}（\frac{πvt}{2L}）}{{R}_{1}{R}_{2}}$，（0≤t≤$\frac{2L}{v}$）
（3）導(dǎo)體棒AB在切割磁感線的過程中產(chǎn)生半個周期的正弦交流電，則感應(yīng)電動勢的有效值為：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$B₀Lv
答：（1）導(dǎo)體棒所產(chǎn)生的電動勢的表達式為e=B₀Lvcos（$\frac{πvt}{2L}$）；
（2）導(dǎo)體棒AB從x=0運動到x=2L的過程中外力F隨時間t變化的規(guī)律是F=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v（{R}_{1}+{R}_{2}）co{s}^{2}（\frac{πvt}{2L}）}{{R}_{1}{R}_{2}}$，（0≤t≤$\frac{2L}{v}$）；
（3）導(dǎo)體棒AB從x=0運動到x=2L的過程中，所產(chǎn)生的電動勢的有效值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$B₀Lv．

點評 本題以正弦式電流的產(chǎn)生來考查電磁感應(yīng)的應(yīng)用；關(guān)鍵要掌握電磁感應(yīng)和電路的基本規(guī)律，熟練推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式．