Question

7．1995年人類在太陽(yáng)系以外首次發(fā)現(xiàn)繞恒星公轉(zhuǎn)的行星，此后，又相繼發(fā)現(xiàn)了一百五十多顆在太陽(yáng)系以外的行星．檢測(cè)出這些在太陽(yáng)系以外的行星的原理可以理解為：質(zhì)量為M的恒星與質(zhì)量為m的行星（M＞m）在它們之間的萬(wàn)有引力的作用下有規(guī)則地運(yùn)動(dòng)著．如圖所示表示我們認(rèn)為行星在以某一定點(diǎn)C為中心、半徑為a的圓周上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圖中沒(méi)有表示出恒星．設(shè)萬(wàn)有引力常量為G，恒星以及行星的大小忽略不計(jì)．則下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 行星和恒星運(yùn)行的向心力大小相同，角速度相同
• B． 恒星和C點(diǎn)之間的距離b=$\frac{Ma}{m}$
• C． 行星的運(yùn)行速率v=$\frac{M（\frac{GM}{a}）^{\frac{1}{2}}}{M+m}$
• D． 恒星的運(yùn)行速率V=$\frac{m（\frac{GM}{a}）^{\frac{1}{2}}}{M+m}$

Answer 1

分析 恒星與行星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，相互之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力，則它們有相同的角速度和周期．根據(jù)牛頓第二定律分別對(duì)兩星進(jìn)行列式，來(lái)求解．根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，由牛頓第二定律列式求解恒星的運(yùn)行速率v．

解答 解：A、質(zhì)量為M的恒星與質(zhì)量為m的行星（M＞m）在它們之間的萬(wàn)有引力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，相互之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力，則角速度相同，故A正確；
B、對(duì)行星m，F(xiàn)=mω²a…①
對(duì)恒星M，F(xiàn)′=Mω²b…②
可得b=$\frac{m}{M}a$，故B錯(cuò)誤；                   
C、恒星運(yùn)動(dòng)的軌道和位置大致如圖，對(duì)恒星M根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有：
$\frac{GMm}{（a+b）^{2}}=M\frac{{v}^{2}}$
解得v=$\frac{m{（\frac{GM}{a}）}^{\frac{1}{2}}}{M+m}$，故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：AD

點(diǎn)評(píng) 本題是雙星問(wèn)題，關(guān)鍵抓住兩點(diǎn)：一是雙星由相互間的萬(wàn)有引力提供向心力；雙星的條件是：角速度或周期相等．