Question

如圖所示，矩形區(qū)域MNPQ內(nèi)有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，虛線(xiàn)框外為真空區(qū)域，半徑為R，內(nèi)壁光滑，內(nèi)徑很小的絕緣半圓管ADB固定在豎直平面內(nèi)，直徑AB垂直于水平虛線(xiàn)MN，圓心O恰好在MN的中點(diǎn)，半圓管的一半處于電場(chǎng)中，一質(zhì)量為m，可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電，電荷量為q的小球從半圓管的A點(diǎn)由靜止開(kāi)始滑入管內(nèi)，小球從B點(diǎn)穿過(guò)后，能夠通過(guò)B點(diǎn)正下方的C點(diǎn)，重力加速度為g，小球在C點(diǎn)處的加速度大小為

5

3

g．求：
（1）帶勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E；
（2）小球在到達(dá)B點(diǎn)前一瞬間時(shí)，半圓軌道對(duì)它的作用力的大��；
（3）要使小球能夠到達(dá)B點(diǎn)正下方C點(diǎn)，虛線(xiàn)框MNPQ的高度和寬度滿(mǎn)足什么條件？

Answer 1

分析：（1）由題，小球在C點(diǎn)處的加速度大小為

5

3

g，根據(jù)牛頓第二定律求解電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）研究小球從A→B過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理求出小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小，小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解軌道對(duì)它的作用力的大��；
（3）小球從B→C過(guò)程采用運(yùn)動(dòng)的分解法研究：水平方向做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球水平向左運(yùn)動(dòng)的最大距離和豎直方向運(yùn)動(dòng)的距離，由幾何關(guān)系確定虛線(xiàn)框MNPQ的高度和寬度滿(mǎn)足什么條件．

解答：解：（1）小球在C處受水平向右的電場(chǎng)力F和豎直方向的重力mg，由題，加速度為

5

3

g
則由

(Eq)2+m2g2

=m(

5

3

g)
解得  E=

4mg

3q

（2）小球從A→B過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
   mg?2R-qER=

1

2

m

v

2 B

解得：vB=

4 3 gR

根據(jù)牛頓第二定律得：
   N-mg=m

v 2 B

R

代入解得：N=

7

3

mg
（3）小球從B→C水平方向做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)
    水平方向：a_x=

qE

m

=

4

3

g  
    豎直方向：a_y=g
設(shè)向左減速時(shí)間為t，則有t=

vB

ax

=

3R 4g

  x=

1

2

v_Bt=

R

2

  y=

1

2

g（2t）²=

3R

2

虛線(xiàn)框MNPQ的寬度應(yīng)滿(mǎn)足條件L＞2R，高度應(yīng)滿(mǎn)足條件H＞R+

3R

2

=

5R

2

．
答：
（1）帶勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E=

4mg

3q

；
（2）小球在到達(dá)B點(diǎn)前一瞬間時(shí)，半圓軌道對(duì)它的作用力的大小為N=

7

3

mg；
（3）要使小球能夠到達(dá)B點(diǎn)正下方C點(diǎn)，虛線(xiàn)框MNPQ的寬度應(yīng)滿(mǎn)足條件L＞2R，高度應(yīng)滿(mǎn)足條件H＞

5R

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題采用程序法進(jìn)行處理，難點(diǎn)是小球從B→C過(guò)程，由于小球受的是恒力，采用分解法研究．