Question

11．發(fā)射衛(wèi)星過程可簡化為：先將衛(wèi)星發(fā)射到離地面高度為h的圓軌道1上，經(jīng)過Q點(diǎn)時點(diǎn)火進(jìn)入橢圓軌道2，在P點(diǎn)再次點(diǎn)火進(jìn)入離地面高度為H的軌道3．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R．則求：
①衛(wèi)星在軌道1上圓周運(yùn)動時的速度大��；
②衛(wèi)星軌道1，3的周期之比；
③衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過Q、P兩點(diǎn)時的加速度之比；
④如果已知軌道3為地球同步軌道，周期為T，H=5.5R（R為地球半徑），則求地球密度．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，即可求解運(yùn)行的速率；衛(wèi)星加速度由萬有引力提供，求出萬有引力加速度就可以，在地球表面，重力和萬有引力相等，在地球同步衛(wèi)星軌道，已知衛(wèi)星的周期求出地球的質(zhì)量，從而求得地球密度

解答 解：（1）衛(wèi)星在軌道1上勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
得${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
在地球表面重力等于萬有引力，$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$得$GM=g{R}_{\;}^{2}$
聯(lián)立得${v}_{1}^{\;}=\sqrt{gR}$
（2）在軌道1上：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}R$
在軌道3上
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}（R+h）$
聯(lián)立以上兩式得$\frac{{T}_{1}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{（R+h）_{\;}^{3}}}$
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$
$\frac{{a}_{Q}^{\;}}{{a}_{P}^{\;}}=\frac{（R+h）_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}$
（4）根據(jù)萬有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{（R+H）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+H）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
由題意知H=5.5R
$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}6．{5}_{\;}^{3}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
M=ρV
$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
聯(lián)立得$ρ=\frac{3π6．{5}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
答：①衛(wèi)星在軌道1上圓周運(yùn)動時的速度大小$\sqrt{gR}$；
②衛(wèi)星軌道1，3的周期之比$\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{（R+h）_{\;}^{3}}}$；
③衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過Q、P兩點(diǎn)時的加速度之比$\frac{（R+h）_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}$；
④如果已知軌道3為地球同步軌道，周期為T，H=5.5R（R為地球半徑），則求地球密度$\frac{3π6．{5}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$．

點(diǎn)評 考查萬有引力定律的應(yīng)用，掌握牛頓第二定律的內(nèi)容，理解萬有引力提供向心力的做勻速圓周運(yùn)動，注意要結(jié)合題意來合理書寫向心力表達(dá)式．