Question

8．如圖所示，在桌面上方有一倒立的玻璃圓錐，頂角∠AOB=120°，頂點O與桌面的距離為4a，圓錐的底面半徑R=a，圓錐軸線與桌面垂直．有一半徑為R的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的底面上，光束的中心軸與圓錐的軸重合．已知玻璃的折射率n=$\sqrt{3}$，求光束在桌面上形成的光斑的面積．

Answer 1

分析 當半徑為R的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的底面上，經(jīng)過第一次折射時，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光線不發(fā)生偏折．當?shù)诙�次折射時，由于入射角等于30°，而玻璃的折射率n=$\sqrt{3}$，可得臨界角與入射角的關(guān)系，判斷光線不會發(fā)生光的全反射，作出光路圖，可根據(jù)幾何關(guān)系可確定光斑的半徑，即可求得光斑的面積．

解答 解：設(shè)玻璃的臨界角為C，則有：sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$
如圖所示，射到OA界面的入射角為：α=30°，
則有：sinα=$\frac{1}{2}$＜sinC，α＜C
故入射光線能從圓錐側(cè)面射出．
設(shè)折射角為β，無限接近A點的折射光線為AC，根據(jù)折射定律有：
sinβ=nsinα
解得：β=60°
過O點作OD∥AC，則∠O₂OD=β-α=30°
在直角三角形O₁AO中，O₁O=Rtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
在直角三角形△ACE中，EC=AEtan30°=（4a+$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）$•\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}+1}{3}$a
故O₂C=EC-R=$\frac{4\sqrt{3}-2}{3}$a
O₂D=O₂Otan30°=4atan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$a
光束在桌面上形成光環(huán)的面積 
 S=π•O₂D²-π•O₂C²=$\frac{16\sqrt{3}-4}{9}$πa²  
答：光束在桌面上形成的光照亮部分的面積為$\frac{16\sqrt{3}-4}{9}$πa²．

點評 本題關(guān)鍵之處是根據(jù)光的折射定律與反射定律作出光路圖，再利用幾何關(guān)系來輔助計算．