Question

如圖1所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠小于板的長和寬）．在兩板之間有一帶負電的質點P．已知若在A、B間加電壓U₀，則質點P可以靜止平衡于A、B間．現在A、B 間加上如圖2所示的隨時間t變化的電壓U，在t=0時質點P位于A、B間的中點處且初速為0．已知質點P能在A、B之間以最大的幅度上下運動而不與兩板相碰，求
（1）質點P的比荷（即電荷量大小與質量的比值）
（2）t₁～t₂，t₃～t₄，t₅～t₆…時間內的加速度大小和方向及0～t₁，t₂～t₃，t₄～t₅…時間內的加速度大小和方向
（3）圖2中U改變的各時刻t₁、t₂、t₃及t_n的表達式．（質點開始從中點上升到最高點，及以后每次從最高點到最低點或從最低點到最高點的過程中，電壓只改變一次．）

Answer 1

分析：根據qE=mg，結合E=

U

d

，可求得電荷的比荷；
分時段對質點受力分析，由牛頓第二定律結合qE=mg與E=

U

d

，求加速度大小與方向．
根據題意分時段，由運動學公式來求出各自時間與間距的關系，同理求得其它時段的表達式，從而尋找規(guī)律列出表達式．

解答：解：（1）設質點P的質量為m，電量大小為q，
根據題意可知，當AB間的電壓為U₀時，
有：q

U0

d

=mg 
解得：

q

m

=

dg

U0

（2）t₁～t₂，t₃～t₄，t₅～t₆…時間內的質點P只受重力，
加速度大小為g，方向豎直向下．
0～t₁，t₂～t₃，t₄～t₅…時間內兩板間的電壓為2U₀時，
P的加速度向上，其大小為a，
則有q

2U0

d

-mg=ma
解得：a=g
（3）0～t₁，P自A、B間的中點向上作初速為0的勻加速運動，加速度為g，經過時間t₁，P的速度變?yōu)関₁，
此時使電壓變?yōu)?，讓P在重力作用下向上作勻減速運動，再經過t₁′，P正好達到A板且速度變?yōu)?，
則有：v₁=gt₁  
0=v1-g

t

′ 1

   

1

2

d=

1

2

g

t

2 1

+v1

t

′ 1

-

1

2

g

t

′2 1

   
由以上各式 解得：t1=

t

′ 1

=

2

2

d g

則t1總=

2

d g

在重力作用下，P由A板處向下做勻加速運動，經過時間t₂，P的速度變?yōu)関₂，方向向下，
此時加上電壓使P向下勻減速運動，再經過t₂′，P正好達到B板且速度變?yōu)?，
故有
 v₂=gt₂
 0=v2-g

t

′ 2

 
d=

1

2

g

t

2 2

+v2

t

′ 2

-

1

2

g

t

′2 2

由以上各式可得：t2=

t

′ 2

=

d g

  
所以 t2總=(

2

+1)

d g

同理可得，t3總=(

2

+3)

d g

t4總 =(

2

+5)

d g

由以上可知規(guī)律，
(

2

+2n-3)

d g

   (n≥2)
答：（1）質點P的比荷

dg

U0

；
（2）t₁～t₂，t₃～t₄，t₅～t₆…時間內的加速度大小為g，方向豎直向下．及0～t₁，t₂～t₃，t₄～t₅…時間內的加速度大小為g，方向豎直向上．
（3）圖2中U改變的各時刻t₁、t₂、t₃及t_n的表達式為(

2

+2n-3)

d g

  (n≥2)

點評：帶電粒子在電場中運動的問題，是電場知識和力學知識的綜合應用，分析方法與力學分析方法基本相同，關鍵在于分析粒子的受力情況和運動情況．